Могут ли не уволить с работы по собственному желанию, так как работать в январе будет некому в отделе?

Зависит от начальника

Смотря какой вид договора у тебя

Уведомишь за 14 дней и пока

нет
14 дней и свободен..

Нет уволят так как ценности в вас нет никакой , будет зам делать начальника вашу работу пока не найдут нового сотрудника ,уйдет зам будет начальник делать или переведут из соседнего отдела приказом типа производственная необходимость ,а в кадрах просто снизят требования и будут брать всех кто пришел на ваше место и.т.п вариантов миллион у руководства

Не имеют права. Обязаны уволить не позже чем через две недели.

Если заявление на увольнение подаёте с соблюдением сроков его подачи, то не могут отказать.

Работать или не работать в этой конторе твое право. А то что работать некому это их проблемы. Если не хотят увольнять, то пиши заявление в прокуратуру