(10-11 класс) Исследовать функцию, построить график: у=х⁴-4х

Исследуем. Осталось 3 часа

Анализируя знак производной, можно выделить интервалы: функция убывает на

(−∞,1) и возрастает на
(1,+∞). Минимум достигается в точке

x=1. График функции имеет форму "W", пересекает ось y
в точке
(0,0)

Функция у(х) - это полином, а следовательно имеет областью определения D(y) всю вещественную ось ℝ=(-∞;+∞), всюду непрерывная (точки разрыва отсутствуют) и абсолютно гладкая. Функция у(х) ни чётная, ни нечётная, апериодическая общего вида.
y = x·[x³-(∛4)³] = x·(x-∛4)(x²+x∛4+∛16)
У функции у(х) два нуля: х=0 и х=∛4. С осью абсцисс график функции пересекается в точках (0;0) и (∛4;0), а с осью ординат тоже в начале координат, то есть в точке (0;0)
__+__(0)__–__(∛4)__+__
Промежутки знакопостоянства:
(-∞;0) - положительность
(0;∛4) - отрицательность
(∛4;+∞) - положительность
Поведение в бесконечности:
lim(x→±∞)y(x) = +∞
Вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет
y' = 4x³-4 = 4·(x-1)(x²+x+1)
У производной один нуль в точке х=1. Знаки производной:
__–__(1)__+__
Промежутки монотонности:
(-∞;1] - убывание
[1;+∞) - возрастание
В стационарной точке х=1 происходит смена убывания на возрастание, следовательно это точка минимума, причём глобального! Значение функции в точке глобального минимума у(1)=-3. Область значений функции E(y)=[-3;+∞)
Других экстремумов нет
y'' = 12x² - вторая производная всюду неотрицательна, следовательно точек перегиба нет и функция всюду выпукла
График: