Что такое банахово пространство? Простые примеры пж

Банахово пространство — это важное понятие в функциональном анализе, которое является обобщением понятия евклидового пространства. Формально, банахово пространство — это полное нормированное векторное пространство. Это означает, что в этом пространстве есть норма, которая позволяет измерять длину векторов, и любое последовательное приближение векторов (в смысле нормы) имеет предел, который также принадлежит этому пространству.
Примеры банаховых пространств

1. Евклидово пространство ?ⁿ :

• Норма: ‖x‖ = √(x₁² + x₂² + ... + xₙ²) .

• Это пространство является банаховым, так как оно полное: любая Коши-последовательность в ?ⁿ сходится к точке в ?ⁿ .

2. Пространство непрерывных функций C([a, b]) :

• Это множество всех непрерывных функций на отрезке [a, b].

• Норма: ‖f‖ = max_(x ∈ [a, b]) |f(x)| .

• Это пространство также является банаховым, поскольку оно полное: последовательности непрерывных функций, сходящиеся по этой норме, имеют предел, который также является непрерывной функцией.

3. Пространство lᵖ :

• Для 1 ≤ p < ∞ , пространство последовательностей (xₙ) таких, что ∑ |xₙ|ᵖ < ∞ .

• Норма: ‖x‖ₚ = (∑ |xₙ|ᵖ)^(1/p) .

• Пространство lᵖ является банаховым для всех 1 ≤ p < ∞ .

4. Пространство всех ограниченных функций B(X) :

• Это множество всех ограниченных функций на некотором пространстве X .

• Норма: ‖f‖ = \sup_(x ∈ X) |f(x)| .

• Это пространство также является банаховым.