Элементы Высшей математики

1) Проверка подстановкой
Дано: y = 3x^3 - 2x и dy = (3x^2 - 2)dx.
Проверим, является ли y = 3x^3 - 2x решением:
Найдём производную y:
dy/dx = d/dx(3x^3 - 2x) = 9x^2 - 2
Сравним с правой частью:
dy = (3x^2 - 2)dx
Производная 9x^2 - 2 не совпадает с 3x^2 - 2. Значит, функция не является решением данного уравнения.

2) Метод разделения переменных
Дано: y' = y.
Это дифференциальное уравнение можно переписать как:
dy/dx = y
Разделим переменные:
dy/y = dx
Интегрируем обе части:
∫dy/y = ∫ dx
Получаем:
ln |y| = x + C
где C — константа интегрирования.
Экспоненцируем обе стороны:
|y| = e^x+C = e^x · e^C
Обозначим e^C как C_1, тогда:
y = C_1 e^x

3) Частное решение
Дано: x^2 dy/dx = y с начальным условием y(0) = 5.
Разделим переменные:
dy/y = dx/x^2
Интегрируем обе части:
∫dy/y = ∫dx/x^2
Получаем:
ln |y| = -1/x + C
Экспоненцируем обе стороны:
|y| = e^-1/x + C = e^C · e^-1/x
Обозначим e^C как C_2, тогда:
y = C_2 e^-1/x
Используем начальное условие y(0) = 5:

Подстановка x = 0 нецелесообразна, так как деление на ноль. Условие должно быть изменено для корректного решения, например, x_0 ≠ 0.







Подробнее, как вы и просили в комменте.

Интеграция и константа:
Когда мы интегрируем обе стороны уравнения, константа интегрирования C обычно добавляется к одной стороне, но её можно учитывать в процессе преобразования. Например: ln |y| = x + C

Экспоненцирование:
Чтобы избавиться от логарифма, мы применяем экспоненциальную функцию к обеим сторонам: e^ln |y| = e^x + C

Левая часть упрощается: |y| = e^x + C
Мы можем разложить правую часть с использованием свойств экспоненты:
e^x + C = e^x · e^C

Обозначение константы:
Теперь e^C — это просто новая константа, которую можно обозначить как C_1:
|y| = C_1 e^x

Устраняем знак модуля:
Так как |y| = C_1 e^x, можно записать без модуля, учитывая положительные и отрицательные значения C_1: y = Ce^x , где C может быть любой ненулевой константой (включая знак).
Мы получили общее решение дифференциального уравнения y' = y: y = Ce^x