Вычислить частные производные первого и второго порядков функции двух переменных

А сложность в чем? Берите производную по x, как в школе, считая y просто числом. Это будет частная производная по x. Так же по y: берите производную, считая y переменной, а x - просто числом.

∂z/∂x = -12x³y³ - 5
∂z/∂y = -9x⁴y² - 3eʸ
∂²z/∂x² = -36x²y³
∂²z/∂x∂y = (∂/∂y)∂z/∂x = -36x³y²
∂²z/∂y∂x = (∂/∂x)∂z/∂y = -36x³y²
(Обе смешанные производные, естественно, получаются одинаковыми !)
∂²z/∂y² = -18x⁴y - 3eʸ