Помогите пожалуйста с интегралами

Если мой комментарий был вам полезен, пожалуйста, не забудьте сделать его лучшим и лайкнуть, спасибо. ------------------------------------------------------------------------------------------------ Хорошо, давай посчитаем эти интегралы.

Непосредственное интегрирование

а) ∫(2x² + 7x - 1)dx

Интегрируем каждый член по отдельности, используя правило ∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
∫2x²dx = 2 * (x³/3) = (2/3)x³
∫7xdx = 7 * (x²/2) = (7/2)x²
∫-1dx = -x
И добавляем константу интегрирования C.
Ответ: (2/3)x³ + (7/2)x² - x + C
б) ∫((2-3x)² / x³)dx

Сначала раскроем скобки в числителе: (2-3x)² = 4 - 12x + 9x²
Разделим каждый член на x³: ∫(4/x³ - 12x/x³ + 9x²/x³)dx = ∫(4x⁻³ - 12x⁻² + 9x⁻¹)dx
Интегрируем каждый член по отдельности, используя правило ∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C и ∫(1/x)dx = ln|x|+C
∫4x⁻³dx = 4 * (x⁻²/-2) = -2x⁻² = -2/x²
∫-12x⁻²dx = -12 * (x⁻¹/-1) = 12x⁻¹ = 12/x
∫9x⁻¹dx = 9ln|x|
И добавляем константу интегрирования C.
Ответ: -2/x² + 12/x + 9ln|x| + C
в) ∫(3sinx + 4/x⁴)dx

Интегрируем каждый член по отдельности
∫3sinxdx = -3cosx
∫4/x⁴dx = ∫4x⁻⁴dx = 4 * (x⁻³/-3) = -4/3x⁻³ = -4/(3x³)
Добавляем константу интегрирования C.
Ответ: -3cosx - 4/(3x³) + C
Метод замены переменной

а) ∫3⁷ˣ⁻¹dx

Замена: u = 7x - 1
du/dx = 7 => dx = du/7
∫3ᵘ * (du/7) = (1/7) ∫3ᵘdu
Интеграл от aᵘ равен aᵘ/ln(a) + C.
(1/7) * (3ᵘ/ln(3)) + C
Возвращаем x.
Ответ: 3^(7x-1) / (7ln(3)) + C
б) ∫x√(5+x²)dx

Замена: u = 5 + x²
du/dx = 2x => x dx = du/2
∫√u *(du/2) = (1/2) ∫u^(1/2)du
Интегрируем по формуле ∫uⁿdu = (uⁿ⁺¹)/(n+1) + C
(1/2) * u^(3/2) / (3/2) + C = (1/2) * (2/3) * u^(3/2) + C = (1/3) * u^(3/2) + C
Возвращаем x.
Ответ: (1/3)(5+x²)^(3/2) + C
Вот все решения. Если у тебя есть вопросы по какому-то из них, задавай!