Артём Маковец
Знаток
(347)
5 часов назад
Когда мы говорим, что функция должна быть непрерывной на отрезке [a,b], это означает, что она не должна иметь разрывов на границах этого отрезка. Непрерывность на границе важна, потому что экстремумы могут находиться как внутри интервала, так и на его границах. Если функция не непрерывна в одной из этих точек, то мы не можем гарантировать, что экстремум будет достигнут на границе.
Когда мы говорим, что функция должна быть дифференцируема на интервале (a,b), это означает, что мы рассматриваем точки, которые не включают границы. Это связано с тем, что в точках
a и b могут возникнуть проблемы с определением производной. Например, если функция имеет разрыв или резкое изменение наклона на границах, то производная в этих точках не будет определена.
Вы правы в том, что если функция дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке. Однако это утверждение не распространяется на границы интервала. Поэтому, если мы говорим о дифференцируемости на интервале (a,b), мы предполагаем, что функция ведет себя "хорошо" в этих точках, но нам нужно отдельно проверить поведение на границах.
Зачем нужны оба условия:
Непрерывность на [a,b]: Это условие позволяет нам гарантировать, что функция не "прыгает" на границах, что важно для нахождения глобальных экстремумов.
Дифференцируемость на (a,b): Это условие позволяет нам использовать теоремы о критических точках и применять условия для нахождения локальных экстремумов.