Помогите найти изображение оригинала через преобразование Лапласа

Дык просто отлапласьте вашу функцию. И процесс будет проще, если вы воспользуетесь формулой для косинуса куба, и тем, косинус - это релаьная часть от комплексной экспоненты:
F(p) = ∫dt exp(-p t) f(t) = ∫dt exp(-p t) cos(t)³ =
= ∫dt exp(-p t) [cos(3 t) + 3 cos(t)] / 4 =
= (1/4) Re{ ∫dt exp([-p + 3 i] t) + 3 ∫dt exp([-p + i] t)}.