Математика 10–11 класс

Вариант 18

Задание 1.

Функция определена, если x³ - 12x > 0.

x(x² - 12) > 0

x(x - 2√3)(x + 2√3) > 0

x ∈ (-2√3; 0) ∪ (2√3; +∞)

Ответ: Область определения функции: (-2√3; 0) ∪ (2√3; +∞).

Задание 2.

8⅔ - 25½ + ∛64 = 4 - 5 + 4 = 3

Ответ: Значение выражения равно 3.

Задание 3.

125^(2x - 3) > 1/25

5^(6x - 9) > 5^(-2)

6x - 9 > -2

6x > 7

x > 7/6

Ответ: Решение неравенства: x ∈ (7/6; +∞).

Задание 4.

log₂ 8 + log₃ 125 + lg 10 - lg 1000 = 3 + 3log₃ 5 + 1 - 3 = 1 + 3log₃ 5

Ответ: Значение выражения равно 1 + 3log₃ 5.

Задание 5.

log₅ (x + 1) < 2

0 < x + 1 < 25

-1 < x < 24

Ответ: Решение неравенства: x ∈ (-1; 24).

Задание 6.

√(2x² + 5x + 4) = 2x - 4

2x² + 5x + 4 = 4x² - 16x + 16

2x² - 21x + 12 = 0

D = 441 - 96 = 345

x₁ = (21 + √345)/4

x₂ = (21 - √345)/4 (не подходит, так как 2x - 4 < 0)

Ответ: Решение уравнения: x = (21 + √345)/4.

Задание 7.

sin α = -¼, α ∈ IV четверти

cos α = √(1 - sin² α) = √(1 - 1/16) = √15/4

tg α = sin α / cos α = -1/√15

ctg α = 1/tg α = -√15

Ответ: cos α = √15/4, tg α = -1/√15, ctg α = -√15.

Задание 8.

√3ctgx + √3 = 0

ctgx = -1

x = 3π/4 + πn, n ∈ Z

Ответ: Решение уравнения: x = 3π/4 + πn, n ∈ Z.

Задание 9.

y = 2sin x + 1

График функции - синусоида, растянутая в 2 раза по оси ординат и смещенная на 1 единицу вверх по оси ординат.

Ответ: Постройте график функции y = 2sin x + 1.

Задание 10.

{ 3^(2√x - √y) = 81
{ lg√xy = 1 + lg 3

{ 2√x - √y = 4
{ √xy = 30

{ √y = 2√x - 4
{ √x(2√x - 4) = 30

{ √y = 2√x - 4
{ 2x - 4√x - 30 = 0

{ √y = 2√x - 4
{ √x = 5 (√x = -3 не подходит)

{ √y = 6
{ √x = 5

{ x = 25
{ y = 36

Ответ: Решение системы уравнений: (25; 36).