Написать уравнение гиперболы и ее асимптот

Гипербола:

(x^2 / 36) - (y^2 / 25) = 1


Асимптоты:

y = ±(5/6)x















Вывод:

Стандартная форма уравнения гиперболы с центром в начале координат:

(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1

где:

a — длина вещественной полуоси (расстояние от центра до вершины вдоль оси x)

b — длина мнимой полуоси (расстояние от центра до вершины вдоль оси y)

Нам дано, что b = 5 (минимальная полуось) и эксцентриситет e = 5/4.

Эксцентриситет гиперболы определяется как:

e = sqrt(1 + (b^2 / a^2))

Подставляем известные значения и решаем относительно a:

5/4 = sqrt(1 + (5^2 / a^2))
25/16 = 1 + (25 / a^2)
9/16 = 25 / a^2
a^2 = (25 * 16) / 9
a^2 = 400 / 9
a = 20 / 3

Мы нашли a^2 и b^2, и можем подставить их в стандартное уравнение гиперболы:

(x^2 / (400/9)) - (y^2 / 25) = 1


Упрощая, получаем уравнение гиперболы:

(x^2 / 36) - (y^2 / 25) = 1


Уравнения асимптот гиперболы:

y = ±(b/a)x

Подставляем значения a и b:

y = ±(5 / (20/3))x
y = ±(5/6)x


Таким образом, мы получили уравнение гиперболы и ее асимптот.