Найдите все матрицы второго порядка, для которых A ^ T = A ^ - 1

я не знаю

Матрица второго порядка имеет вид:

A = | a b |
| c d |

где a, b, c и d - действительные числа. Транспонированная матрица A равна:

A^T = | a c |
| b d |


Обратная матрица A равна:

A^-1 = 1/(ad-bc) | d -b |
| -c a |


где ad-bc - определитель матрицы A. Если A^T = A^-1, то:

| a c | = 1/(ad-bc) | d -b |
| b d | | -c a |


Это дает нам следующую систему уравнений:

a = d/(ad-bc)
c = -b/(ad-bc)
b = -c/(ad-bc)
d = a/(ad-bc)


Из первого и четвертого уравнений следует, что a^2 = d^2, а из второго и третьего уравнений следует, что b^2 = c^2. Следовательно, a = d или a = -d, и b = c или b = -c.

Если a = d и b = c, то из первого уравнения следует, что a = 1/a, а значит, a = 1 или a = -1. Тогда из второго уравнения следует, что b = -b, а значит, b = 0. В этом случае A = I или A = -I, где I - единичная матрица.

Если a = d и b = -c, то из первого уравнения следует, что a = 1/a, а значит, a = 1 или a = -1. Тогда из второго уравнения следует, что b = b, что верно для любого b. В этом случае определитель A равен a^2 + b^2 = 1, и A - ортогональная матрица.

Если a = -d и b = c, то из первого уравнения следует, что a = -1/a, а значит, a^2 = -1, что невозможно для действительного a.

Если a = -d и b = -c, то из первого уравнения следует, что a = -1/a, а значит, a^2 = -1, что невозможно для действительного a.

Следовательно, единственными матрицами второго порядка, для которых A^T = A^-1, являются матрицы вида:

A = | a b |
| -b a |


где a^2 + b^2 = 1. Эти матрицы являются ортогональными матрицами и представляют собой повороты на угол θ, где cos(θ) = a и sin(θ) = b.