Поиск производной сложной функции

Чтобы найти производную функции y = ⁴√(x / (2x² + 2)), нужно использовать правило цепного дифференцирования и свойства производных.

Представим функцию в виде степени:
y = (x / (2x² + 2))¹/⁴

Применим правило цепного дифференцирования:
y' = (1/4) * (x / (2x² + 2))⁻³/⁴ * (x / (2x² + 2))'

Найдем производную внутренней функции (частного):
(x / (2x² + 2))' = ((1) * (2x² + 2) - x * (4x)) / (2x² + 2)² = (2x² + 2 - 4x²) / (2x² + 2)² = (2 - 2x²) / (2x² + 2)²

Подставим производную частного в выражение для производной y':
y' = (1/4) * (x / (2x² + 2))⁻³/⁴ * (2 - 2x²) / (2x² + 2)²

Упростим:
y' = (1/4) * ((2 - 2x²) / ( (2x² + 2)² (x / (2x² + 2))³/⁴ ))
y' = (1/4) * ((2 - 2x²) / ( (2x² + 2)² * (x³/⁴) / (2x²+2)³/⁴ ))

y' = (2-2x^2) / (4 * (2x^2+2)^(5/4) * (x^(3/4)))

Поэтапное решение:

Запишем функцию в виде степени: y = (x / (2x² + 2))¹/⁴

Применим правило цепного дифференцирования: y' = (1/4) * (u)⁻³/⁴ * u', где u = x / (2x² + 2)

Найдем производную внутренней функции u': используем правило дифференцирования частного: u' = (x' * (2x² + 2) - x * (2x² + 2)') / (2x² + 2)²

Найдем x' = 1 и (2x² + 2)' = 4x.

Подставим в u': u' = (1 * (2x² + 2) - x * 4x) / (2x² + 2)² = (2x² + 2 - 4x²) / (2x² + 2)² = (2 - 2x²) / (2x² + 2)²

Подставим u' в y': y' = (1/4) * (x / (2x² + 2))⁻³/⁴ * (2 - 2x²) / (2x² + 2)²

Упростим: y' = (2-2x²) / (4 * (2x^2+2)^(5/4) * (x^(3/4)))

Ответ:
y' = (2-2x²) / (4 * (2x^2+2)^(5/4) * (x^(3/4)))

Будьте любезны, если мой ответ оказался полезным для вас, пожалуйста, лайкните его и нажмите на кнопку "Лучший ответ" рядом с моим комментарием через 3 часа. Ваша поддержка будет для меня очень важна. Заранее благодарю вас!