Вычислить производную функции y=(cos3x)^tg2x

1. Логарифмическое дифференцирование

Так как у нас функция в степени функции, удобнее всего использовать логарифмическое дифференцирование. Возьмём натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

ln y = ln (cos 3x)^(tg 2x)

Используя свойство логарифма, вынесем степень:

ln y = tg 2x * ln (cos 3x)

2. Дифференцирование обеих частей

Теперь продифференцируем обе части уравнения по x, помня, что y - функция от x, и применяя правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования произведения:

(1/y) * y' = (tg 2x)' * ln (cos 3x) + tg 2x * (ln (cos 3x))'

3. Вычисление производных

(tg 2x)' = (1/cos² 2x) * (2x)' = 2 / cos² 2x

(ln (cos 3x))' = (1 / cos 3x) * (cos 3x)' = (1 / cos 3x) * (-sin 3x) * (3x)' = -3 * (sin 3x / cos 3x) = -3 * tg 3x

4. Подстановка и упрощение

Подставим найденные производные в исходное уравнение:

(1/y) * y' = (2 / cos² 2x) * ln (cos 3x) + tg 2x * (-3 * tg 3x)

5. Нахождение y'

Умножим обе части на y, чтобы выразить y':

y' = y * [(2 / cos² 2x) * ln (cos 3x) - 3 * tg 2x * tg 3x]

6. Подстановка y

Вспомним, что y = (cos 3x)^(tg 2x), и подставим это выражение:

y' = (cos 3x)^(tg 2x) * [(2 / cos² 2x) * ln (cos 3x) - 3 * tg 2x * tg 3x]

Ответ:

Производная функции y = (cos 3x)^(tg 2x) равна:

y' = (cos 3x)^(tg 2x) * [(2 / cos² 2x) * ln (cos 3x) - 3 * tg 2x * tg 3x]