Докажите, что 17^12 - 49^6 кратно 10

Кто они такие чтоб им доказывать

Для доказательства того, что выражение 17^12 - 49^6 кратно 10, можно воспользоваться свойствами чисел и их остатками при делении на 10. Рассмотрим данное выражение:

1. Число 17^12 будет иметь последнюю цифру 1, так как любое число, заканчивающееся на 7, в степени, кратной 4, будет иметь последнюю цифру 1 (например, 7^4 = 2401).
2. Число 49^6 будет иметь последнюю цифру 1, так как любое число, заканчивающееся на 9, в степени, кратной 2, будет иметь последнюю цифру 1 (например, 9^2 = 81).

Теперь рассмотрим разность этих чисел:

17^12 - 49^6

Так как оба числа заканчиваются на 1, их разность будет заканчиваться на 0, что означает, что эта разность кратна 10.

Таким образом, мы доказали, что выражение 17^12 - 49^6 кратно 10, потому что его последняя цифра (разность последних цифр обоих чисел) равна 0.

17^12 по модулю 5 - это 1 (по малой теореме Ферма)
и 49 = -1 в четной степени - это тоже 1 (по модулю 5, разумеется).

Значит, из соображений четности, 17^12 - 49^6 кратно 5*2 = 10.

17^12 - 49^6 =

= 17^12 - 7^12 =

= (17^6)^2 - (7^6)^2 =

= (17^6 + 7^6)(17^6 - 7^6) =

= (17^6 + 7^6) * ((17^3)^2 - (7^3)^2) =

= (17^6 + 7^6) * (17^3 + 7^3)(17^3 - 7^3) =

= (17^6 + 7^6) * (17^3 + 7^3) * (17 - 7)(17^2 + 17*7 + 7^2) =

= (17^6 + 7^6) * (17^3 + 7^3) * 10 * (17^2 + 17*7 + 7^2) =>

кратно 10