Помогите задание мат индукция 1й курс

Чтобы доказать тождество

\[
(n+1)(n+2) \cdots (n+n) = 2^n \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1),
\]

начнём с левостороннего множества:

Левую часть можно записать как произведение чисел от \( n+1 \) до \( 2n \):

\[
(n+1)(n+2) \cdots (2n) = \frac{(2n)!}{n!}.
\]

Здесь мы использовали факториалы для представления произведения. Отсюда нужно перейти к правой части.

Правая часть представляет собой \( 2^n \) умноженное на произведение нечетных чисел от \( 1 \) до \( 2n-1 \). Сначала выразим это произведение нечетных чисел:

\[
1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) = \frac{(2n)!}{2^n \cdot n!}.
\]

Действительно, количество всех перестановок (первых \( 2n \) чисел) равно \( (2n)! \). Из них \( n! \) можно выделить для четных чисел и \( 2^n \) для самого факта, что каждое четное число является \( 2k \) для \( k \) от \( 1 \) до \( n \). Значит, с использованием нечетных можно записать

\[
1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) = \frac{(2n)!}{2^n \cdot n!}.
\]

Теперь можно подставить это выражение в правую сторону исходного тождества:

\[
2^n \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) = 2^n \cdot \frac{(2n)!}{2^n \cdot n!} = \frac{(2n)!}{n!}.
\]

Теперь обе стороны равны:

\[
\frac{(2n)!}{n!} = (n+1)(n+2) \cdots (2n).
\]

Таким образом, мы показали, что

\[
(n+1)(n+2) \cdots (2n) = 2^n \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1),
\]

что завершает доказательство тождества.