Может ли существовать дружба без доверия, или это обязательный элемент?

Может. Но не с тобой.)))

Дружба без доверия, это сотрудничество.

Дружба без доверия? Это как чай без воды — выглядит странно и вряд ли получится. Если там нет доверия, то о какой дружбе вообще можно говорить? Просто играете в дружбу, а не живёте ею. Так что да, доверие — обязательный элемент.

Без доверия даже обычного общения не получится, а про дружбу вообще можно забыть.

Не может, будет притворство внешнее.