Помогите пожалуйста решить предел

lim (x стремится к 0) (1-x)^lnx = 1.

lim x -> 0 (1-x)^lnx = (1 - 0)^ln0 = 1^1 = 1
тут не нужно пользоваться Лопиталем, в пределе неопределённости даже нет

Конечно, я помогу вам решить этот предел с помощью правила Лопиталя. Давайте разберем это пошагово:

1) Сначала заметим, что предел имеет вид 1^∞, что является неопределенностью.

2) Чтобы применить правило Лопиталя, нам нужно преобразовать выражение в форму, к которой можно применить это правило. Для этого используем свойство логарифма:

lim(x→0) (1-x)^lnx = lim(x→0) e^(ln((1-x)^lnx)) = lim(x→0) e^(lnx * ln(1-x))

3) Теперь наша задача свелась к нахождению предела:

lim(x→0) lnx * ln(1-x)

4) Это произведение двух функций, каждая из которых стремится к нулю при x→0. Поэтому мы можем применить правило Лопиталя:

lim(x→0) (lnx * ln(1-x)) = lim(x→0) ln(1-x) / (1/lnx)

5) Применим правило Лопиталя еще раз:

lim(x→0) (-1/(1-x)) / (-1/(x*lnx^2)) = lim(x→0) (x*lnx^2) / (1-x)

6) Снова неопределенность 0/0. Применяем правило Лопиталя в третий раз:

lim(x→0) (lnx^2 + 2x*lnx/x) / (-1) = lim(x→0) -(lnx^2 + 2lnx)

7) При x→0, lnx→-∞, поэтому:

lim(x→0) -(lnx^2 + 2lnx) = ∞

8) Возвращаясь к нашему исходному выражению:

lim(x→0) (1-x)^lnx = e^∞ = ∞

Итак, ответ: предел равен бесконечности (∞).

Вот решение

Степень распишем как -1/x(-x*ln(x)) = 1/e^(xln(x))
Дальше сделаем замену t = 1/x и используем правило Лопиталя
-lim (t -> inf) -1/t = 0
Степень стремится к нулю, а значит число, возводимое в степень - к единице