Найти угол между плоскостями

QVQ-72B-Preview:

Чтобы найти угол между двумя плоскостями, нужно найти угол между их нормальными векторами.

Для плоскости P2, заданной уравнением 5x + 2y - 3z + 1 = 0, нормальный вектор n2 = (5, 2, -3).

Для плоскости P1, проходящей через точки M1(2, -4, 1), M2(-1, 2, 0) и M3(0, -2, 3), сначала находим два вектора в плоскости:

Вектор M1M2 = (-3, 6, -1)
Вектор M1M3 = (-2, 2, 2)

Нормальный вектор n1 находим как векторное произведение этих векторов:

n1 = M1M2 × M1M3 = (14, 8, 6)

Теперь находим угол θ между нормальными векторами n1 и n2:

cos θ = (n1 · n2) / (|n1| |n2|)

Скалярное произведение:

n1 · n2 = 14 * 5 + 8 * 2 + 6 * (-3) = 70 + 16 - 18 = 68

Модули векторов:

|n1| = sqrt(14^2 + 8^2 + 6^2) = sqrt(296)
|n2| = sqrt(5^2 + 2^2 + (-3)^2) = sqrt(38)

Тогда:

cos θ = 68 / (sqrt(296) * sqrt(38))

Упрощаем:

cos θ ≈ 68 / (4 * sqrt(703)) ≈ 0.641

И, наконец:

θ ≈ arccos(0.641) ≈ 50.1°

Ответ:

[50.1°]