Решите пж приделы

Давайте посчитаем пределы.

8. lim (x² - 2x) / (√(9 - x²) - 3) при x → 0

Этот предел имеет неопределенность вида 0/0. Воспользуемся правилом Лопиталя или алгебраическими преобразованиями. Рассмотрим алгебраические преобразования:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю:

lim (x² - 2x) * (√(9 - x²) + 3) / ((9 - x²) - 9) при x → 0 =
lim (x² - 2x) * (√(9 - x²) + 3) / (-x²) при x → 0 =
lim (x - 2) * (√(9 - x²) + 3) / (-x) при x → 0


Подставив x = 0, получим неопределенность вида 0/0. Используем правило Лопиталя:

lim (-1) * (√(9 - x²) + 3) + (x - 2) * (-x) / (√(9 - x²)) / (-1) при x → 0 =
(-1) * (6) / (1) = -6


Ответ: -6


9. lim (x² + 2x) / (x² + 4x + 4) при x → -2

Подставив x = -2 в числитель и знаменатель, получаем 0/0. Разложим знаменатель на множители:

(x² + 2x) / ((x + 2)²)
x(x + 2) / (x + 2)² = x / (x + 2)


Теперь предел:

lim x / (x + 2) при x → -2


Это неопределенность вида ∞, поэтому предел не существует. Если приближаться к -2 слева (x → -2⁻), предел стремится к +∞, а справа (x → -2⁺) - к -∞.


Ответ: Предел не существует


10. lim (cos x - cos 5x) / (2x²) при x → 0

Используем правило Лопиталя:

lim (-sin x + 5sin 5x) / (4x) при x → 0


Опять 0/0. Ещё раз применяем правило Лопиталя:

lim (-cos x + 25cos 5x) / 4 при x → 0 = (-1 + 25) / 4 = 6


Ответ: 6


11. lim ((2x - 1) / (3x + 5))^(x - 1) при x → ∞

Это предел вида 1^∞, требуется логарифмирование:

y = ((2x - 1) / (3x + 5))^(x - 1)
ln y = (x - 1) * ln((2x - 1) / (3x + 5))


Найдём предел ln y:

lim (x - 1) * ln((2x - 1) / (3x + 5)) при x → ∞


Заменим (2x - 1) / (3x + 5) на 2/3 при x->∞

lim (x - 1) * ln(2/3) при x → ∞ = -∞


Следовательно, lim y = e⁻∞ = 0

Ответ: 0


12. lim (9b⁵ - 4b³ + 3) / (3b⁵ + 2b - 2) при b → ∞

Разделим числитель и знаменатель на b⁵:

lim (9 - 4/b² + 3/b⁵) / (3 + 2/b⁴ - 2/b⁵) при b → ∞ = 9 / 3 = 3


Ответ: 3


Надеюсь, мои решения понятны! Обратите внимание на то, что в некоторых случаях необходимо уметь распознавать тип неопределенности и применять соответствующие методы решения.