Провести полное исследование функции и построить её график у=4х^2/х+2

Функция у(х) ни чётная, ни нечётная, апериодическая общего вида с областью определения D(y)=(-∞;-2)∪(-2;+∞), в своей области определения непрерывная и абсолютно гладкая. Имеет единственный нуль в точке х=0 и точка пересечения графика функции с осью абсцисс находится в начале координат, то есть в точке с координатами (0;0). В начале координат находится и точка пересечения графика функции с осью ординат.
__–__(-2)__+__(0)__+__
Промежутки знакопостоянства:
(-∞;-2) - отрицательность
(-2;0) - положительность
(0;+∞) - положительность
Поведение на бесконечности и близ единственной точки разрыва:
lim(x→-∞)у(х) = -∞
lim(x→+∞)y(x) = +∞
lim(x→-2-0)y(x-0) = -∞
lim(x→-2+0)y(x+0) = +∞
В точке х=-2 у функции у(х) разрыв второго рода в виде простого полюса первого порядка.
k = lim(x→±∞)y(x)/x = 4
b = lim(x→±∞)[y(x)-kx] = -8
У функции у(х) есть две асимптоты: вертикальная х=-2 и наклонная у=kx+b=4x-8
y' = [8x·(x+2)-4x²]/(x+2)² = 4x·(x+4)/(x+2)²
У производной два нуля: х=-4 и х=0
__+__(-4)__–__(-2)__-__(0)__+__
Промежутки монотонности:
(-∞;-4] - возрастание
[-4;-2) - убывание
(-2;0] - убывание
[0;+∞) - возрастание
В точке х=-4 возрастание сменяется на убывание, следовательно это точка локального максимума. y(-4)=-32.
В точке х=0 убывание сменяется на возрастание, следовательно это точка локального минимума. y(0)=0.
у'' = 4·[(х²+4х)/(х+2)²]' =
4·[(2х+4)(х+2)²-2·(х²+4х)(х+2)]/(х+2)⁴ =
8·[х²+4х+4-х²-4х)/(х+2)³ = 32/(х+2)³
У второй производной нет нулей. Её знаки:
__–__(-2)__+__
Промежутки вогнутости и выпуклости:
(-∞;-2) - вогнутость
(-2;+∞) - выпуклость
Точек перегиба нет - в данном случае вогнутость сменяется на выпуклость не через ноль второй производной, а через её простой полюс третьего порядка.
График:

DeepSeek v3:

Для проведения полного исследования функции y = 4x^2 / (x + 2) и построения её графика, выполним следующие шаги:

### 1. Область определения функции
Функция определена для всех значений x, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю:
x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ -2
Таким образом, область определения функции:
D(y) = (-∞; -2) ∪ (-2; +∞)

### 2. Точки пересечения с осями
- С осью Ox (нули функции):
y = 0 ⇒ 4x^2 / (x + 2) = 0 ⇒ 4x^2 = 0 ⇒ x = 0
Точка пересечения: (0; 0).

- С осью Oy:
x = 0 ⇒ y = 4 * 0^2 / (0 + 2) = 0
Точка пересечения: (0; 0).

### 3. Асимптоты
- Вертикальная асимптота:
x = -2
(так как при x → -2 знаменатель стремится к нулю, а числитель к 16).

- Горизонтальная асимптота:
lim (x → ±∞) 4x^2 / (x + 2) = lim (x → ±∞) 4x / (1 + 2/x) = ±∞
Горизонтальной асимптоты нет.

- Наклонная асимптота:
k = lim (x → ±∞) y / x = lim (x → ±∞) 4x^2 / (x(x + 2)) = 4
b = lim (x → ±∞) (y - kx) = lim (x → ±∞) (4x^2 / (x + 2) - 4x) = lim (x → ±∞) (-8x / (x + 2)) = -8
Наклонная асимптота: y = 4x - 8.

### 4. Интервалы монотонности и экстремумы
Найдем производную функции:
y' = d/dx (4x^2 / (x + 2)) = (8x(x + 2) - 4x^2) / (x + 2)^2 = (8x^2 + 16x - 4x^2) / (x + 2)^2 = (4x^2 + 16x) / (x + 2)^2
Найдем критические точки:
y' = 0 ⇒ 4x^2 + 16x = 0 ⇒ 4x(x + 4) = 0 ⇒ x = 0 или x = -4
Исследуем знак производной на интервалах:
- x ∈ (-∞; -4): y' > 0 (функция возрастает).
- x ∈ (-4; -2): y' < 0 (функция убывает).
- x ∈ (-2; 0): y' < 0 (функция убывает).
- x ∈ (0; +∞): y' > 0 (функция возрастает).

Таким образом:
- x = -4 — точка максимума.
- x = 0 — точка минимума.

### 5. Интервалы выпуклости и точки перегиба
Найдем вторую производную:
y'' = d/dx ((4x^2 + 16x) / (x + 2)^2) = ((8x + 16)(x + 2)^2 - (4x^2 + 16x) * 2(x + 2)) / (x + 2)^4
Упростим:
y'' = (8(x + 2)^3 - 8x(x + 2)^2) / (x + 2)^4 = (8(x + 2)^2 (x + 2 - x)) / (x + 2)^4 = 16 / (x + 2)^3
Исследуем знак второй производной:
- x ∈ (-∞; -2): y'' < 0 (функция выпукла вверх).
- x ∈ (-2; +∞): y'' > 0 (функция выпукла вниз).

Точек перегиба нет.

### 6. Построение графика
График функции y = 4x^2 / (x + 2) имеет следующие особенности:
- Вертикальная асимптота: x = -2.
- Наклонная асимптота: y = 4x - 8.
- Точка максимума: (-4; -16).
- Точка минимума: (0; 0).

График функции будет иметь вид гиперболы с указанными асимптотами и экстремумами.

Область определения: (-∞; -2) ∪ (-2; +∞)
Точки пересечения с осями: (0; 0)
Вертикальная асимптота: x = -2
Наклонная асимптота: y = 4x - 8
Точка максимума: (-4; -16)
Точка минимума: (0; 0)
Интервалы возрастания: (-∞; -4) ∪ (0; +∞)
Интервалы убывания: (-4; -2) ∪ (-2; 0)
Интервалы выпуклости вверх: (-∞; -2)
Интервалы выпуклости вниз: (-2; +∞)