Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с кратными корнями
Как решать такие системы методом Эйлера (когда через хар-е уравнение ищешь собственные и присоединенные векторы), если есть допустим кратный корень = 1 с кратностью 2 и второй корень = 3 с кратностью 1. Покажите на примере пожалуйста
Нашел где спросить.
Это легко понимается, если думать об уравнении через операторы. Сначала на таком языке лучше рассмотреть уравнение без кратных корней.
-
Пусть есть у вас какое-нибудь линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, пусть, например, третьего порядка:
y'''+ a y'' + b y' + c y = 0.
Если оператор взятия производной обозначить как D, то уравнение можно переписать так:
(D^3 + a D^2 + b D + c) y = 0.
Дальше этот оператор мжно фактирозовать (просто разложить на множители, как обычный многочлен по D):
(D - k1) (D - k2) (D - k3) y = 0.
Пока коэффициенты уравнения постоянные, это делается легко. И скобки эти можно переставлять местами. k1, k2, k3 - это решения характристического уравнения.
Теперь пробуем подействовать одной из таких скобок:
(D - k)
на функцию вида:
exp(a x) Z(x),
получим (надо просто раскрыть скобки, подействовать производной как на произведние функций, экспоненту вынести слева за скобку, а потом снова все свернуть):
(D - k) exp(a x) Z(x) = exp(a x) (D + a - k) Z(x).
Если теперь в уравнение с факторизованным оператором подставить функцию вида:
y = exp(k x) z(x),
то получим:
(D - k1) (D - k2) (D - k3) exp(k x) z = 0,
(D - k1) (D - k2) exp(k x) (D + k - k3) z = 0,
(D - k1) exp(k x) (D + k - k2) (D + k - k3) z = 0,
exp(k x) (D + k - k1) (D + k - k2) (D + k - k3) z = 0,
на экспоненту теперь можно сократить:
(D + k - k1) (D + k - k2) (D + k - k3) z = 0.
Если теперь в качестве k взять одно из характеристических чисел, например:
k = k3,
то уравнение принимает вид:
(D + k3 - k1) (D + k3 - k2) D z = 0.
Видно, что z = const - решение. Тогда решением исходного уравнения является функция:
y = exp(k3 x) z = const exp(k3 x).
-
Теперь пусть будет кратный корень:
k3 = k2.
Тогда уравнение примет вид:
(D - k1) (D - k2)^2 y = 0.
Ищем решение в виде:
y = exp(k2 x) z,
подставляем в уравнение, получаем:
(D + k2 - k1) D^2 z = 0.
Усе, отдельно решаем уравнение:
D^2 z = 0,
получаем:
z = C1 + C2 x,
тогда имеем сразу два независимых решения исходного уравнения:
y = C1 exp(k2 x) + C2 x exp(k2 x).
Если бы корень был бы трехкратно вырожден, то получили бы уравнение:
D^3 z = 0,
и решение:
z = C1 + C2 x + C3 x^2,
y = C1 exp(k2 x) + C2 x exp(k2 x) + C3 x^2 exp(k2 x).
Эта штука универсально распространяется на любое количество корней любой кратности.