Помогите решить задачу по геометрии

DeepSeek v3:

Дано:
- Параллелограмм ABCD.
- Точка M — середина стороны AB.
- Точка N на стороне AD такая, что угол CMN равен углу DNM.
- Длина отрезка CM равна 10.
- Длина отрезка AN равна 2.

Требуется найти длину стороны BC.

Решение:

1. Обозначим стороны параллелограмма:
- Пусть AB = CD = a.
- BC = AD = b.

2. Координаты точек:
- Поместим точку A в начало координат: A(0, 0).
- Тогда:
- B(a, 0).
- D(0, b).
- C(a, b).
- Точка M — середина AB: M(a/2, 0).
- Точка N на AD: N(0, y), где 0 ≤ y ≤ b.

3. Условие AN = 2:
AN = √((0-0)^2 + (y-0)^2) = y = 2 ⇒ N(0, 2).

4. Углы ∠CMN и ∠DNM:
- Вектор CM = M - C = (a/2 - a, 0 - b) = (-a/2, -b).
- Вектор MN = N - M = (0 - a/2, 2 - 0) = (-a/2, 2).
- Угол между векторами CM и MN:
cos(∠CMN) = (CM · MN) / (|CM| · |MN|),
где CM · MN = (-a/2)(-a/2) + (-b)(2) = a^2/4 - 2b,
|CM| = √((-a/2)^2 + (-b)^2) = √(a^2/4 + b^2),
|MN| = √((-a/2)^2 + 2^2) = √(a^2/4 + 4).
- Вектор DN = N - D = (0 - 0, 2 - b) = (0, 2 - b).
- Вектор NM = M - N = (a/2 - 0, 0 - 2) = (a/2, -2).
- Угол между векторами DN и NM:
cos(∠DNM) = (DN · NM) / (|DN| · |NM|),
где DN · NM = 0 · (a/2) + (2 - b)(-2) = -4 + 2b,
|DN| = √(0^2 + (2 - b)^2) = |2 - b|,
|NM| = √((a/2)^2 + (-2)^2) = √(a^2/4 + 4).

5. Условие равенства углов:
cos(∠CMN) = cos(∠DNM),
(a^2/4 - 2b) / (√(a^2/4 + b^2) · √(a^2/4 + 4)) = (-4 + 2b) / (|2 - b| · √(a^2/4 + 4)).
Упростим уравнение, учитывая, что |2 - b| = b - 2 (так как b > 2):
(a^2/4 - 2b) / √(a^2/4 + b^2) = (-4 + 2b) / (b - 2),
(a^2/4 - 2b) / √(a^2/4 + b^2) = 2.
Возведем обе части в квадрат:
(a^2/4 - 2b)^2 = 4(a^2/4 + b^2),
a^4/16 - a^2b + 4b^2 = a^2 + 4b^2,
a^4/16 - a^2b = a^2,
a^4/16 - a^2b - a^2 = 0.
Умножим на 16:
a^4 - 16a^2b - 16a^2 = 0,
a^2(a^2 - 16b - 16) = 0.
Так как a ≠ 0, то:
a^2 - 16b - 16 = 0 ⇒ a^2 = 16b + 16.

6. Используем длину CM = 10:
CM = √((a/2)^2 + b^2) = 10,
a^2/4 + b^2 = 100.
Подставим a^2 = 16b + 16:
(16b + 16)/4 + b^2 = 100,
4b + 4 + b^2 = 100,
b^2 + 4b - 96 = 0.
Решим квадратное уравнение:
b = (-4 ± √(16 + 384)) / 2 = (-4 ± √400) / 2 = (-4 ± 20) / 2,
b = 8 (так как b > 0).

Ответ:
8

Давайте решим эту задачу шаг за шагом:

1) Так как M — середина AB, то AM = MB = 1/2 AB.

2) Из условия ∠CMN = ∠DNM следует, что треугольник CMN подобен треугольнику DNM.

3) Обозначим DN = x. Тогда AN = 2, значит ND = AD - AN = AD - 2.

4) Из подобия треугольников CMN и DNM можно составить пропорцию:
CM : DN = CN : NM
10 : x = (AD - 2) : (1/2 AB)

5) Из свойств параллелограмма известно, что AD = BC. Обозначим BC = y.
Тогда наша пропорция примет вид:
10 : x = (y - 2) : (1/2 AB)

6) Из той же пропорции можно составить еще одно равенство:
CM : CN = DN : NM
10 : (y - 2) = x : (1/2 AB)

7) Из последнего равенства:
10 * (1/2 AB) = x * (y - 2)
5AB = xy - 2x

8) Подставляя это в равенство из пункта 5:
10 : x = (y - 2) : (5AB / x)
10x = x(y - 2)
10x = xy - 2x
12x = xy

9) Отсюда: y = 12 (так как x ≠ 0)

Таким образом, длина стороны BC параллелограмма равна 12.

.