Расскажите, пожалуйста, про геометрический смысл двойного и тройного интеграла по замкнутому контуру

Что вообще такое двойной и тройной интегрл по контуру? По контуру обычно берется однократный интеграл. Физический смысл у него... зависит от рода интеграла и от того, какой физический или геометрический смысл вы придадите штукам, которые в него входят.
-
Через интеграл первого рода выразится масса тонкой линии с заданной линейной плотностью, или геометрически это площадь криволинейной трапеции, основание которой - не прямая, а некий контур.
-
Через интеграл второго рода выразится циркуляция векторного поля вдоль контура в геометрическом смысле, а физически это всякие там работы сил, ЭДС, циркулция скорости потока жидкости и т. д...

У умножить на dx.