Красивый классический интегральчик.

.

1. Тригонометрическая подстановка

Заметим, что подкоренное выражение √( (b - x) (x - a) ) стандартно поддаётся замене вида

x = (a + b)/2 + (b - a)/2 cosθ.

При такой подстановке:

отрезок x ∈ [a,b] будет соответствовать θ ∈ [π, 0] (поскольку при x=a получаем cosθ=-1, то есть θ=π; а при x=b — cosθ=1, то есть θ=0);

дифференциал dx равен

dx = - (b-a)/2 sinθ dθ;

подкорень упрощается так:

√( (b - x) (x - a) ) = √((b - ( (a+b)/2 + (b-a)/2 cosθ )) ( (a+b)/2 + (b-a)/2 cosθ - a)) = (b-a)/2 sinθ,

потому что sinθ ≥ 0 при θ ∈ [0,π].

Тогда исходный интеграл становится

I = ∫ₓ₌ₐˣ₌ᵇ 1/x √( (b-x)(x-a) ) dx = ∫θ₌πθ₌₀ 1/( (a+b)/2 + (b-a)/2 cosθ ) (b-a)/2 sinθ (-(b-a)/2 sinθ dθ).

Знак «минус» вынесем, заодно развернув пределы интегрирования с π до 0 на 0 до π. В результате:

I = ∫₀^π ( (b-a)²/4 sin²θ ) / ( (a+b)/2 + (b-a)/2 cosθ ) dθ.

Вынесем постоянные множители:

I = (b-a)²/4 ∫₀^π sin²θ / ( (a+b)/2 + (b-a)/2 cosθ ) dθ.
Упростим знаменатель, домножив и числитель, и знаменатель на 2:

I = (b-a)²/4 × 2 ∫₀^π sin²θ / ( (a+b) + (b-a)cosθ ) dθ = (b-a)²/2 ∫₀^π sin²θ / ( (a+b) + (b-a)cosθ ) dθ.

Введём удобный параметр

α = (b-a) / (b+a).

Тогда 0 < α < 1, а выражение в знаменателе становится (b+a) [ 1 + αcosθ ].

Отсюда

I = (b-a)² / (2(b+a)) ∫₀^π sin²θ / ( 1 + α cosθ ) dθ.

2. Стандартный результат интеграла из ТФКП

Далее нам нужен классический результат, который обычно выводят либо через разложение по Фурье, либо (более красиво) через интегрирование по единичной окружности в комплексной плоскости с заменой z = e^(iθ) и учётом соответствующих вычетов:

1.
∫₀^π dθ/(1+αcosθ) = π / √(1-α²), |α| < 1.

2.
∫₀^π cos(2θ)/(1+αcosθ) dθ = π/√(1-α²) ( (1 - √(1-α²)) / α )².

Используя тождество sin²θ = (1 - cos(2θ))/2, получаем:

∫₀^π sin²θ / (1 + α cosθ) dθ = 1/2 ∫₀^π ( 1 - cos(2θ) ) / ( 1 + α cosθ ) dθ = 1/2 [ ∫₀^π dθ/(1+αcosθ) - ∫₀^π cos(2θ)/(1+αcosθ) dθ ].

Итого

∫₀^π sin²θ / (1 + α cosθ) dθ = π / (2√(1-α²)) [ 1 - ( (1 - √(1-α²)) / α )² ].

Технические упрощения приводят к красивой «свернутой» форме, но давайте сразу подставим α = (b-a)/(b+a) и аккуратно всё доупростим.

3. Подстановка α и конечное упрощение

1)
1 - α² = 1 - ( (b-a)/(b+a) )² = ((b+a)² - (b-a)²) / (b+a)² = 4ab / (b+a)²,
откуда
√(1-α²) = 2√(ab) / (b+a).

Подставляя в интеграл и аккуратно сокращая, после довольно типичных для таких задач выкладок получается:

∫₀^π sin²θ / (1 + α cosθ) dθ = π(b+a) / (b+a + 2√(ab)).

Тогда весь множитель перед этим интегралом у нас был

(b-a)² / (2(b+a)).

И в результате

I = (b-a)² / (2(b+a)) × π(b+a) / (b+a + 2√(ab)) = π (b-a)² / (2 [(b+a)+2√(ab)]).

Но (b+a) + 2√(ab) = (√(b) + √(a))². А (b-a)² = (√(b) - √(a))² (√(b) + √(a))². Следовательно,

(b-a)² / ((b+a) + 2√(ab)) = ( (√(b) - √(a))² (√(b) + √(a))² ) / (√(b) + √(a))² = (√(b) - √(a))².

Таким образом, получается окончательно:

I = π/2 (√(b) - √(a))² = π/2 [ b + a - 2√(ab) ].

Это и есть искомый результат.

4. Итог

Ответ:

∫ₐᵇ 1/x √((b - x)(x - a)) dx = π/2 (√(b) - √(a))².

При желании всю тригонометрическую часть (особенно вычисление ∫₀^π (sin² θ)/(1+αcosθ) dθ) можно трактовать строго через метод вычетов — тогда вы берёте контур единичной окружности z=e^(iθ), выражаете cosθ и sin²θ в терминах z, и сводите дело к сумме вычетов у соответствующих полюсов. Но по сути мы воспользовались тем же результатом, только в уже табличном виде.