Математика, помогите решить.
Решить линейное дифференциальное уравнение
y’ + sinx × y = x²e cosx
1)Методом Бернулли
2) методом вариаций произвольной постоянной .
У Вас уравнение какое?
y' + sin x · y = x² · e ᶜᵒˢ ˣ - такое?
Если да, то решаем сначала однородное ОДУ методом разделения переменных:
1/y dy = - sin x · dx
∫ 1/y dy = - ∫ sin x · dx
㏑|y| = cos x + c
y = C · e ᶜᵒˢ ˣ
Решаем неоднородное уравнение методом вариации постоянной С:
y' = C' · e ᶜᵒˢ ˣ - C · sin x · e ᶜᵒˢ ˣ
Исходное уравнение
y' + sin x · y = x² · e ᶜᵒˢ ˣ
переписываем:
C' · e ᶜᵒˢ ˣ - C · sin x · e ᶜᵒˢ ˣ + C · sin x · e ᶜᵒˢ ˣ =
C' · e ᶜᵒˢ ˣ = x² · e ᶜᵒˢ ˣ
C' = x² => C = ⅓·x³ + α
Решением исходного уравнения является
семейство функций у = (⅓·x³ + α) · e ᶜᵒˢ ˣ
Проверяем полученное решение на
соответствие его исходному ОДУ:
y' = x² · e ᶜᵒˢ ˣ - (⅓·x³ + α) · sin x · e ᶜᵒˢ ˣ
y' + sin x · y = x² · e ᶜᵒˢ ˣ - всё верно!
Давайте решим это дифференциальное уравнение обоими методами.
1) Метод Бернулли:
Уравнение имеет вид: y' + sinx × y = x²e^cosx
Шаг 1: Находим интегрирующий множитель μ(x):
μ(x) = e^∫sinx dx = e^(-cosx)
Шаг 2: Умножаем обе части уравнения на μ(x):
e^(-cosx)y' + e^(-cosx)sinx × y = x²
Шаг 3: Левая часть является производной произведения:
(e^(-cosx)y)' = x²
Шаг 4: Интегрируем обе части:
e^(-cosx)y = ∫x²dx = x³/3 + C
Шаг 5: Выражаем y:
y = e^cosx(x³/3 + C)
2) Метод вариации произвольной постоянной:
Шаг 1: Сначала решаем однородное уравнение:
y' + sinx × y = 0
y = Ce^(-cosx)
Шаг 2: Ищем частное решение в виде:
y = C(x)e^(-cosx)
Шаг 3: Подставляем в исходное уравнение:
C'(x)e^(-cosx) - C(x)e^(-cosx)sinx + C(x)e^(-cosx)sinx = x²e^cosx
Шаг 4: Упрощаем:
C'(x)e^(-cosx) = x²e^cosx
Шаг 5: Находим C(x):
C'(x) = x²e^(2cosx)
C(x) = ∫x²e^(2cosx)dx + C₁
Шаг 6: Общее решение:
y = e^(-cosx)(∫x²e^(2cosx)dx + C₁)
После преобразований получаем тот же результат:
y = e^cosx(x³/3 + C)
Оба метода приводят к одинаковому результату, что подтверждает правильность решения.
4
2