Почему реле игнорирует программу на Ардуино

Сложно сказать. Был бы прибор, то хоть видно было-бы...или там был бы светодиод.
Но если есть запчасти, то проверить можно на светодиоде, что сигнал идет...так как может реле не хочет, может даже провод поломан...что-то там коричневый какой-то под наклоном. В общем, все по цепочке проверять надо.
Допустим у вас не работает схема (устройство) A. Разбиваем задачу на подзадачи которые связаны, то бишь A1->A2->A3->...->AN = A и проверяем, что на входе A1 и что на выходе...если норм, то переходим по цепочке далее. Так и понимаем, кто виноват. Для вашего случая: программа, схема-провода, реле.
Так как вы думаете программа, то проверь просто ее подключив светодиод, а если проблема в проводе, то замените его на другой, а есть ли проблема в реле, то подключите A4 этот коричневый через резистор 1 кОм на 5 вольтовый вывод, должно реле срабатывать. Так и поймете.

AnalogWrite (pin, value) вторым параметром регулирует скважность сигнала для достижения усредненного напряжения от 0 (value = 0) до 5(value = 255) вольт.
HIGH - это забинденное значение "1"
Таким образом ваше AnalogWrite(A4, HIGH) тоже самое что и AnalogWrite(A4, 1) = тоесть выдает минимально возможное напряжение отличное от нуля, которого естественно не хватает для срабатывания реле.
Используйте либо AnalogWrite(A4, 255) либо digitalWrite(A4, HIGH).