Почему вычисляя интеграл разными способами получается разные ответы ?

Я слишком глуп. Прошу прощения.

Несколько причин, по которым при вычислении интеграла разными способами могут получаться разные ответы:

Равноценность полученной константы. Например, если константу можно записать по-другому, с минусом или добавить произвольное действительное число, то все эти ответы будут равноценны. 1
Особенности и свойства некоторых функций. Например, если решать по разным формулам, то ответы могут различаться. 1
Выбор разных способов решения. Например, для тригонометрических интегралов типично превращение одних функций в другие по многочисленным тригонометрическим формулам.

Если нет банальных ошибок, тогда один ответ получится из другого путем эквивалентных преобразований.
А вообще, этот вопрос из разряда "на деревню дедушке".