Помогите происходит ошибка не могу понять в чем дело (вырезал проверку ключа и аутентификацию)

Значит, файл этот случайно дважды подключил

У вас в проекте одновременно существуют два класса (или два объявления одного и того же класса) с именем auth, причём оба объявлены как обычный class (без partial), а внутри каждого дублируется один и тот же код: поля button1, textBox1, linkLabel1 и т.п., методы button1_Click, auth_Load, linkLabel1_LinkClicked и т.д.

Посмотрите, где у вас лежит код с InitializeComponent().
Скорее всего, это файл с именем вида main.g.cs или auth.Designer.cs. Именно этот файл не надо трогать, потому что он генерируется автоматически.

Оставьте ваш «основной» код в одном файле, а Designer – в другом.
Пусть будет, например:

auth.cs – тут ваш код, все события (button1_Click и т. п.), и сам класс объявлен как:

 public partial class auth : Form 
{ 
    // ваш код 
} 

auth.Designer.cs – автоматический код (InitializeComponent) с объявлением:

 partial class auth 
{ 
    // поля button1, textBox1, ...  
    // метод InitializeComponent() 
} 

В обоих файлах класс auth должен быть public partial class auth.
Если где-то нет partial, нужно добавить. Если у вас в одном месте написано просто public class auth, а в другом – partial class auth, получится конфликт.

Убедитесь, что действительно нет второго класса auth без partial, который копирует тот же самый код.
Иногда бывает, что кто-то случайно создал Form1, потом переименовал её в auth, а в проекте остался «старый» Form1. Или вы где-то в main.cs вручную написали класс с таким же названием.

Добавьте нужные using:

 using System; 
using System.Windows.Forms; 
using System.Drawing;                // для Point, Size, Icon и т.д. 
using System.ComponentModel;         // для IContainer 
using System.ComponentModel.Design;  // иногда для ComponentResourceManager 
// Либо using System.Resources;       // в зависимости от того, что именно вы используете 

Если по-прежнему возникают конфликты с Point, Size, Icon (например, «тип существует в двух сборках System.Drawing и System.Drawing.Primitives»), уберите ненужные ссылки из проекта или явно укажите System.Drawing.Point, System.Drawing.Size, System.Drawing.Icon.

Но в типичном WinForms-проекте достаточно (Visual Studio обычно сама правильно подключает System.Drawing и нужные сборки).

Проверьте, не лежит ли в проекте «левый» main.cs или main.g.cs, который не нужен. Если это обычный WinForms-проект, у вас наверняка будет Program.cs (точка входа с static void Main()), и для формы auth – auth.cs, auth.Designer.cs, auth.resx.

Главное правило WinForms: один и тот же класс формы должен быть объявлен в двух частях (.cs и .Designer.cs) – и в обоих местах обязательно пишется public partial class auth : Form. Все поля (button1, textBox1, ...) и InitializeComponent() обычно «живут» в *.Designer.cs, а ваш «пользовательский» код – в основном *.cs.