Равномерно непрерывна функция

Есть такое вот свойство:

Функция, имеющая на промежутке ограниченную производную, равномерно непрерывна на этом промежутке.

Из чего кагбэ следует, что твоя функция таки непрерывна на всей области определения.

по-моему, она не является равномерно непрерывной на всей области определения (-∞ +∞), то есть:
∃ ε ∀ δ : ∃ x₁, x₂ : |x₁ - x₂| < δ, |x₁² - x₂²| > ε

возьмем, например, ε = 1. тогда для любой δ можно взять x₁ = 1/δ, x₂ = 1/δ + δ/2 и получить:
|x₁ - x₂| = δ/2 < δ
|x₁² - x₂²| = |(x₁ - x₂)(x₁ + x₂)| = |x₁ - x₂| |x₁ + x₂| = δ/2 (2/δ + δ/2) > 1

однако эта функция является равномерно непрерывной на любом ограниченном промежутке (a, b) этой самой области определения, такие вот чудеса.