- x² - 7x - 8 / (x² - 64) < 0.
1. **Разложим числитель и знаменатель на множители:**
* Числитель: x² - 7x - 8 = (x - 8)(x + 1)
* Знаменатель: x² - 64 = (x - 8)(x + 8)
2. **Перепишем неравенство:**
(x - 8)(x + 1) / [(x - 8)(x + 8)] < 0
3. **Сократим (x - 8) в числителе и знаменателе (при условии, что x ≠ 8):**
(x + 1) / (x + 8) < 0
4. **Найдем критические точки:**
* x = -1 (числитель равен нулю)
* x = -8 (знаменатель равен нулю)
5. **Проверим интервалы:**
* **x < -8:** (x + 1) / (x + 8) — положительное число / отрицательное число = отрицательное число. **Условие выполняется.**
* **-8 < x < -1:** (x + 1) / (x + 8) — отрицательное число / положительное число = отрицательное число. **Условие выполняется.**
* **x > -1:** (x + 1) / (x + 8) — положительное число / положительное число = положительное число. **Условие не выполняется.**
6. **Учтем, что x ≠ 8:** Мы сократили (x - 8), поэтому x = 8 не входит в решение.
**Окончательное решение:**
x ∈ (-∞, -8) ∪ (-8, -1)
Таким образом, неравенство выполняется при x, принадлежащих интервалу от минус бесконечности до -8 (исключая -8) и от -8 до -1 (исключая -8).
2. (x² - 4x - 12) / (x - 2) ≤ 0:**
* Разложим числитель на множители: (x - 6)(x + 2)
* Неравенство станет: [(x - 6)(x + 2)] / (x - 2) ≤ 0
* Критические точки: x = -2, x = 2, x = 6
* Проверим интервалы: (-∞, -2), (-2, 2), (2, 6), (6, ∞)
* Решение: **x ∈ (-∞, -2] ∪ (2, 6]** (Обратите внимание: x не может быть 2, так как он находится в знаменателе).
3. (x + 2)(x² + x - 12) ≥ 0:**
* Разложим квадратный трёхчлен на множители: (x + 4)(x - 3)
* Неравенство станет: (x + 2)(x + 4)(x - 3) ≥ 0
* Критические точки: x = -4, x = -2, x = 3
* Проверим интервалы: (-∞, -4), (-4, -2), (-2, 3), (3, ∞)
* Решение: **x ∈ [-4, -2] ∪ [3, ∞)**