На какое наименьшее натуральное число надо умножить 7, чтобы получить число, состоящее из одних единиц?

на 15873

Конечно на калькуляторе это можно подобрать за минуту.
Но можно воспользоваться признаком деления на 7:
Для того, чтобы натуральное число делилось на 7 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц) взятых со знаком «+» и чётных со знаком «-» делилась на семь.
В данном случае число 111111 делится на 7(с результатом 15873), т. к
111-111=0-делится на 7