Ветки ели распустили почки (побеги) в вазе с водой. Могут ли они дать корни в воду? Были у вас такие случаи?

да, конечно! укоренение хвойных возможно двумя вариантами: в воде или сразу в почве.. При укоренении в осенне-зимний период растения должны укореняться на самом светлом и теплом подоконнике с возможным вариантом искусственной подсветки. ищите в сети поиском "укоренение черенков хвойных" - вам предложат много видео и инфы по укоренению..

Не думаю. У ели корневая система строго разделена - это вам не ракита, у которой зона всасывания и зона проведения одна на другой и в принципе очень пластичны. Никаких конечно же корешков спиленная ель не даст вам.
Это не ива и прочий чапыжник

Теоретически много что может быть, а вот на практике укоренение хвойных представляет большие трудности

Ну собственно так ель и размножают - черенкованием. Ветки могут дать корни. Надо обработать стимулятором и добавить подкормки. Почитай на профильных сайтах. Тут щща местные клоуны насоветуют