Есть теорема, что элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.

Теорема о ранге и элементарных преобразованиях
Теорема действительно утверждает, что элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Это означает, что если вы выполняете элементарные преобразования строк или столбцов матрицы, её ранг остаётся неизменным.

Почему ранг не меняется?
Элементарные преобразования включают:

Перестановку строк (или столбцов).

Умножение строки на ненулевое число.

Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число.

Эти операции не изменяют линейную зависимость или независимость строк (или столбцов) матрицы, а значит, не меняют её ранг.

Ступенчатый вид и ранг
Когда вы приводите матрицу к ступенчатому виду (например, с помощью метода Гаусса), вы используете элементарные преобразования. В ступенчатом виде ранг матрицы определяется количеством ненулевых строк.

Почему ранг не меняется?

Приведение к ступенчатому виду — это последовательность элементарных преобразований.

Эти преобразования сохраняют ранг матрицы, так как они не изменяют линейную независимость строк.

Возможная путаница
Если вам кажется, что ранг меняется, это может быть связано с неправильной интерпретацией ступенчатого вида. Например:

Нулевые строки: В ступенчатом виде нулевые строки не учитываются при определении ранга, но они появляются только в результате преобразований, которые сохраняют ранг.

Ошибки в вычислениях: Если при приведении к ступенчатому виду допущена ошибка, это может привести к неправильному определению ранга.