Чем отличаются треугольники, которые вписаны в окружность от треугольников, которые описаны около окружности?

DeepSeek-R1:

Треугольники, **вписанные в окружность** (имеющие описанную окружность), отличаются от треугольников, **описанных около окружности** (имеющих вписанную окружность), следующим образом:

1. **Положение окружности относительно треугольника**:
- **Вписанный треугольник** (с описанной окружностью): все вершины треугольника лежат на окружности. Окружность проходит через три вершины треугольника.
- **Описанный треугольник** (со вписанной окружностью): все стороны треугольника касаются окружности. Окружность находится внутри треугольника и соприкасается с каждой из его сторон.

2. **Условия существования**:
- Для **любого треугольника** можно построить **описанную окружность** (всегда существует).
- Для **любого треугольника** можно построить **вписанную окружность** (также всегда существует).

3. **Центры окружностей**:
- Центр описанной окружности (**циркумцентр**) находится на пересечении серединных перпендикуляров сторон треугольника.
- Центр вписанной окружности (**инцентр**) находится на пересечении биссектрис углов треугольника.

4. **Формулы для радиусов**:
- Радиус описанной окружности:
\( R = a / (2 * sin α) = b / (2 * sin β) = c / (2 * sin γ) \),
где \( a, b, c \) — стороны треугольника, \( α, β, γ \) — противолежащие углы.
- Радиус вписанной окружности:
\( r = S / p \),
где \( S \) — площадь треугольника, \( p = (a + b + c) / 2 \) — полупериметр.

**Итог**:
Все треугольники одновременно являются и вписанными (имеют описанную окружность), и описанными (имеют вписанную окружность). Различие заключается в расположении окружности относительно треугольника: описанная окружность проходит через вершины, а вписанная — касается сторон.