Сколько всего вариантов расстановки шахматных фигур может существовать на доске?

Нужно уточнить, о каком именно «количестве расстановок» идёт речь, потому что в шахматах часто фигурируют сразу несколько похожих, но на самом деле разных чисел:

1. Просто все способы расставить 32 стандартные фигуры (16 белых и 16 чёрных) на 64 клетках без учёта шахматных правил
Это чисто комбинаторная задача: у нас есть 32 фигуры (каждый цвет: 1 король, 1 ферзь, 2 ладьи, 2 слона, 2 коня и 8 пешек), причём в пределах одного цвета фигуры одного типа считаются неотличимыми (например, 8 белых пешек между собой идентичны).

Всего на доске 64 клетки. Мы хотим выбрать, какие 32 из них будут заняты, а затем распределить по выбранным клеткам наши 32 фигуры.

Сначала выбираем 32 клетки из 64: .

Затем «раскладываем» 32 фигуры по выбранным клеткам. Если бы все 32 фигуры были разными, это дало бы перестановок. Но у нас есть группы одинаковых фигур:

8 белых пешек (неотличимы друг от друга),

8 чёрных пешек,

по 2 белые (и 2 чёрные) ладьи, слона, коня.


Учитывая одинаковые фигуры, надо поделить на за белые пешки, на за чёрные пешки и на за каждую пару одинаковых фигур (всего таких пар 6: белые ладьи, чёрные ладьи, белые слоны, чёрные слоны, белые кони, чёрные кони).


Итого число получается по формуле:



N \;=\; \binom{64}{32}\;\times\;\frac{32!}{8!\,8!\,(2!)^6}.

\mathbf{4{,}6}\times 10^{42}.

2. Число всех “законных” (легальных) позиций, которые теоретически могут получиться по правилам игры
Здесь учитываются только такие расположения фигур, которые могут возникнуть в ходе реальной партии (с учётом того, что у каждого цвета должен быть ровно один король, пешки не могут стоять на «неправдоподобных» полях и т.д.). Ещё добавляются дополнительные факторы — чья очередь ходить, возможные права на рокировку, наличие хода en passant и т. п.

Точное число легальных позиций никем пока не вычислено строго, однако существует ряд оценок и верхних/нижних границ. Наиболее распространённые оценки лежат в диапазоне примерно от до .

По данным некоторых исследователей (например, Джон Тромп изучал «шахматное дерево» и количество позиций), более «точная» средняя оценка выходит порядка .



3. Число всех возможных партий (всех разных последовательностей ходов)
Это то самое «число Шеннона» (Shannon number), которое обычно приводят как пример колоссальной комбинаторной сложности шахмат. Оценка Шеннона даёт порядок



10^{120}
\quad\text{или даже выше}.


---

Итого:

Если вопрос про «просто сколькими способами можно физически расставить на доске 32 стандартные фигуры (не думая о том, легальна ли позиция по шахматным правилам)», ответ примерно


\boldsymbol{4{,}6\times 10^{42}}.

А если про «сколько всех различных партий (всех уникальных цепочек ходов)» — это число уже порядка и выше.