Решение двух олимпиадных примеров по математике

1)
Чтобы найти 100-значное число без нулевых цифр, которое делится на сумму своих цифр, можно использовать следующий подход:

1. **Выбор суммы цифр**: Сумма цифр должна быть такой, чтобы число делилось на неё. Например, сумма 125, так как 125 делит число, оканчивающееся на 375 (поскольку 375 делится на 125).

2. **Конструирование числа**:
- Используем 84 единицы, чтобы сумма этих цифр составила 84.
- Добавляем 13 двоек, чтобы увеличить сумму на 26 (13 * 2).
- Добавляем цифры 3, 7 и 5 в конец, чтобы увеличить сумму на 15 (3 + 7 + 5).

3. **Проверка условий**:
- **Длина числа**: 84 единицы + 13 двоек + 3 цифры (3, 7, 5) = 100 цифр.
- **Сумма цифр**: 84 * 1 + 13 * 2 + 3 + 7 + 5 = 84 + 26 + 15 = 125.
- **Делимость**: Число оканчивается на 375, которое делится на 125, следовательно, всё число делится на 125 (сумму цифр).

Таким образом, искомое число:

\boxed{111...111222...222375}

где первые 84 цифры — единицы, затем 13 двоек, и окончание 375.

2)
Чтобы определить периметр исходного прямоугольника, разрезанного на 9 маленьких прямоугольников с параллельными сторонами, необходимо знать периметры пяти маленьких прямоугольников. Это минимальное число, достаточное для восстановления ширины и высоты исходного прямоугольника при условии, что разбиение образует сетку 3×3. В этом случае система уравнений, составленная из известных периметров, позволяет определить все необходимые параметры.

**Ответ:** Наименьшее число периметров — 5.
\boxed{5}