Нужна помощь с геометрией

Задача 1

Условие: Все углы между гранями многогранника — прямые. Найди площадь его поверхности.

Решение:

Этот многогранник можно представить как комбинацию нескольких прямоугольных параллелепипедов. Давайте разобьем его на три параллелепипеда:

Большой параллелепипед: с размерами 6 x 4 x 3.

Средний параллелепипед: с размерами 2 x 2 x 3.

Маленький параллелепипед: с размерами 2 x 2 x 3.

Теперь найдем площадь поверхности каждого из них и просуммируем, учитывая, что некоторые грани "скрыты" внутри фигуры:

Большой параллелепипед:

2 грани по 6 x 4: 2 * 6 * 4 = 48

2 грани по 6 x 3: 2 * 6 * 3 = 36

2 грани по 4 x 3: 2 * 4 * 3 = 24

Итого: 48 + 36 + 24 = 108.

Средний параллелепипед:

2 грани по 2 x 2: 2 * 2 * 2 = 8

2 грани по 2 x 3: 2 * 2 * 3 = 12

Итого: 8 + 12 = 20 (одна грань 2x3 "скрыта")

Маленький параллелепипед:

2 грани по 2 x 2: 2 * 2 * 2 = 8

2 грани по 2 x 3: 2 * 2 * 3 = 12

Итого: 8 + 12 = 20 (одна грань 2x3 "скрыта").

Важно заметить, что "вырезанные" части в большом параллелепипеде компенсируются поверхностью среднего и малого.

Суммируем: 108 + 20 + 20 = 148.

Ответ: Площадь поверхности многогранника равна 148 квадратных единиц.

Задача 2

Условие: Все углы между гранями многогранника — прямые. Найди площадь его поверхности.

Решение:

Этот многогранник также можно разделить на два прямоугольных параллелепипеда:

Большой параллелепипед: с размерами 4 x 2 x (1+3) = 4 x 2 x 4.

Малый параллелепипед: с размерами 2 x 1 x 3.

Теперь рассчитаем площадь поверхности каждого из них и сложим результаты, учитывая, что одна грань малого параллелепипеда "скрыта" внутри:

Большой параллелепипед:

2 грани по 4 x 2: 2 * 4 * 2 = 16

2 грани по 4 x 4: 2 * 4 * 4 = 32

2 грани по 2 x 4: 2 * 2 * 4 = 16

Итого: 16 + 32 + 16 = 64.

Малый параллелепипед:

2 грани по 2 x 1: 2 * 2 * 1 = 4

2 грани по 1 x 3: 2 * 1 * 3 = 6

1 грань по 2 x 3: 1 * 2 * 3 = 6

Итого: 4 + 6 + 6 = 16.

Опять же, "вырезанная" часть в большом параллелепипеде компенсируется поверхностью малого.

Суммируем: 64 + 16 = 80.

Ответ: Площадь поверхности многогранника равна 80 квадратных единиц.

Задача 3

Условие: Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 AD = 10, CD = 6, CC1 = 8. Найди площадь сечения параллелепипеда, проходящего через точки A, D, B1.

Решение:

Сечение, проходящее через точки A, D и B1, является прямоугольником. Две его стороны - это ребра AD и A1B1, равные 10 (так как противоположные ребра параллелепипеда равны).

Две другие стороны - это диагонали граней AA1B1B и DD1C1C. Рассмотрим грань AA1B1B. Это прямоугольник со сторонами AB = CD = 6 и AA1 = CC1 = 8. Диагональ AB1 найдем по теореме Пифагора:

AB1 = √(AB² + AA1²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Аналогично, диагональ DC1 (в другом изображении она может называться по-другому, но суть та же - диагональ боковой грани) также равна 10.

Таким образом, сечение - прямоугольник со сторонами 10 и 10, то есть квадрат.

Площадь сечения: 10 * 10 = 100.

Ответ: Площадь сечения равна 100 квадратных единиц.