Геометрия 10 класс
в правильной шестиугольной призме большая диагональ равна 4√3 см и наклонена к основанию под углом 30 градусов. Найдите площадь боковой поверхности
Обозначим правильную шестиугольную призму ABCDEFA1B1C1D1E1F1.
Большая диагональ: В правильной шестиугольной призме большая диагональ соединяет две вершины, не лежащие в одной грани. Например, AD1.
Угол наклона: Угол между диагональю AD1 и основанием (плоскостью ABCDEF) - это угол между AD1 и её проекцией на плоскость основания, то есть угол DAD1.
Правильный шестиугольник: Все стороны и углы равны. В частности, угол BAD = 120 градусов.
Решение:
Найдём AD: Рассмотрим прямоугольный треугольник AD1D.
AD1 = 4√3 см (по условию).
Угол DAD1 = 30 градусов (по условию).
AD - катет, прилежащий к углу 30 градусов.
AD = AD1 * cos(30°) = 4√3 * (√3/2) = 6 см.
Найдём сторону основания (AB): Рассмотрим треугольник ABD.
AD = 6 см (нашли ранее).
Угол BAD = 120 градусов (свойство правильного шестиугольника).
AB = BD (стороны правильного шестиугольника).
По теореме косинусов: AD² = AB² + BD² - 2 * AB * BD * cos(120°)
6² = AB² + AB² - 2 * AB * AB * (-1/2)
36 = 3 * AB²
AB² = 12
AB = 2√3 см.
Найдём высоту призмы (DD1): Рассмотрим прямоугольный треугольник AD1D.
AD1 = 4√3 см (по условию).
Угол DAD1 = 30 градусов (по условию).
DD1 - катет, противолежащий углу 30 градусов.
DD1 = AD1 * sin(30°) = 4√3 * (1/2) = 2√3 см.
Найдём площадь боковой поверхности:
Боковая поверхность состоит из 6 одинаковых прямоугольников.
Площадь одного прямоугольника: AB * DD1 = 2√3 * 2√3 = 12 см².
Площадь боковой поверхности: 6 * 12 = 72 см².
Ответ: Площадь боковой поверхности призмы равна 72 см².