Докажите, что функция y = F(x) является первообразной для функции y = f(x) если:

Все по таблице первообразных

Твоей мамой клянусь

Наша задача доказать, что функция F(x) является первообразной для f(x). Это означает, что если взять производную от F(x), то получится f(x).

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

1. Случай (a):

Даны функции:
F(x) = 3x^6 + 2x – 12
f(x) = 18x^5 + 2

Чтобы убедиться, что F(x) является первообразной f(x), нужно найти производную F(x):

Производная от 3x^6 равна 18x^5.

Производная от 2x равна 2.

Производная от постоянного числа –12 равна 0.


Если сложить полученные результаты, то получим:
F'(x) = 18x^5 + 2.

Это совпадает с функцией f(x), значит, F(x) действительно является первообразной f(x).


2. Случай (6):

Даны функции:
F(x) = x^6 – 2cos x
f(x) = 6x^5 + 2sin x

Найдем производную F(x):

Производная от x^6 равна 6x^5.

Производная от –2cos x равна 2sin x (так как производная cos x равна –sin x, а минус умножается на –2, что даёт плюс 2sin x).


Сложив полученные результаты, получим:
F'(x) = 6x^5 + 2sin x.

Это точно соответствует функции f(x), что подтверждает, что F(x) является первообразной f(x).



Таким образом, в обоих случаях мы убедились, что если продифференцировать F(x), то получаем f(x), что и требовалось доказать.

Производную возьми просто и всё

Внатуре так

Решение:

a) Для доказательства того, что F(x) является первообразной для f(x), нужно проверить, что производная F(x) равна f(x).

F(x) = 3x^6 + 2x - 12
f(x) = 18x^5 + 2

Найдем производную F(x):
F'(x) = 18x^5 + 2

Сравним F'(x) и f(x):
F'(x) = 18x^5 + 2
f(x) = 18x^5 + 2

Они идентичны, значит F(x) - первообразная для f(x).

b) F(x) = x^6 - 2cos x
f(x) = 6x^5 + 2sin x

Найдем производную F(x):
F'(x) = 6x^5 + 2sin x

Сравним F'(x) и f(x):
F'(x) = 6x^5 + 2sin x
f(x) = 6x^5 + 2sin x

Они идентичны, значит F(x) - первообразная для f(x).