ЗАДАЧА ПО ГЕОМЕТРИИ ЕГЭ ВПР 10 КЛАСС СТЕРЕОМЕТРИЯ

Задача непростая, я над ней долго думал?. Дано: точка К, плоскость АВС, H — проекция точки К на плоскость АВС (этой точки нет в условии, я ввёл), D и Е — проекции точки К на прямые АВ и ВС, KD=КE=2√13 см, KB=10 см, ∠ABC=60°. Найти: ρ(К, АВС). Решение: по теореме, обратной теореме о трёх перпендекулярах, прямые HD и HE (неважно какая именно точка на какой прямой потому что △DHK=△EHK по первому признаку равенства) перпендекулярны прямым АВ и ВС (потому что KD и КЕ — наклонные (к плоскости АВС), HD и НЕ — их проекции а АВ и ВС перпендекулярны наклонным). Значит HD=HE (потому что являются катетами прямоугольных (и равных) треугольников с общим вторым катетом (KH) и равными гипотенузами (KD и КЕ)). Так как НD=HE и они перпендекулярны сторонам угла (АВ и ВС) то ВН — биссектриса ∠ABC. Значит ∠DВH=∠ABС/2. И так как ρ(К, АВС)=KH=√(КD²-HD²), HD=BDsin∠DВK и BD=√(КB²-KD²) то (после компоновки всех этих формул) ρ(К, АВС)=√(КD²-КВ²sin²(∠ABС/2)+КD²sin²(∠ABС/2))=√((2√13)²-10²sin²(60°/2)+(2√13)²sin²(60°/2))=5√2 (см). Ответ: ρ(К, АВС)=5√2 см