Красивая система уравнений, переменные действие-угол.
Для гамильтоновой системы уравнений:
(d/dt)X = Y cos(X) / √(1 - Y²),
(d/dt)Y = -√(1 - Y²) sin(X);
перейти к переменным "действие-угол".
-
Красивость в том, что весь переход к действию и углу полностью делается ручкой на бумажке, все интегралы берутся методами первого курса, и замена переменных нормально выражается в явном виде, что есть не очень частое явление. Для тех, кто ботает гамильтоновый теормешек, удобная задачка, чтобы набить руку :)
-
И забавно, что система уравнений эта сконструирована не искусственно, а получена из физической задачи (сразу + 17 к ее красивости).
Переход осуществляется через энергию E=–√(1–Y²)cosX, после чего действие определяется как I=(1/2π)∮Y dX=(1/π)∫₍X₁₎⁽X₂⁾√[1–(E/cosX)²]dX, а угол – через производную ∂S/∂I, где S=∫√[1–(E/cosX)²]dX, что приводит к виду системы İ=0 и φ̇=dH/dI.
Ну эт просто общие слова, справедливые для любой гамильтоновой системы.
Ну и опять же... красивые задачки нужны, чтоб ими наслаждаться, а не чтобы скармливать калькуляторам)
Посмотри́те эту задачку, если будет время.
https://otvet.mail.ru/question/241403794
Че-т там дофига понарисовано, достроено. А как задачка выглядела исходно?) Или у меня с телефона не все картинки прогрузились (у меня, бывает, не все грузится).
нет
Всм нет? Конечно, да.
Разберем переход к переменным действие-угол шаг за шагом.
Шаг 1. Определение гамильтониана
Так как уравнения заданы в гамильтоновой форме, найдем функцию Гамильтона H(X, Y).
Из первого уравнения:
dX/dt = Y * cos(X) / sqrt(1 - Y^2)
Следовательно, H должна быть такой, чтобы ее частная производная по Y давала это выражение:
∂H/∂Y = Y * cos(X) / sqrt(1 - Y^2).
Аналогично, из второго уравнения:
dY/dt = -sqrt(1 - Y^2) * sin(X),
значит, ∂H/∂X = -sqrt(1 - Y^2) * sin(X).
Интегрируя по X и Y, находим, что H(X, Y) имеет вид:
H = sqrt(1 - Y^2) * cos(X).
Шаг 2. Определение действия J
В переменных действие-угол J и θ, действие определяется через интеграл:
J = (1/2π) ∮ p dq,
где интеграл берется по замкнутой траектории.
В данном случае роль обобщенной координаты играет X, а обобщенный импульс — это Y.
Найдем J:
Замкнутые траектории в фазовом пространстве задаются уровнями энергии H = E, то есть:
sqrt(1 - Y^2) * cos(X) = E.
Выразим Y через E и X:
Y^2 = 1 - (E / cos(X))^2.
Вычислим интеграл по X за полный цикл движения.
Рассматривая движение в ограниченных пределах, находим J явно. Этот интеграл берется стандартными методами.
Шаг 3. Выражение угла θ
После нахождения J можно перейти к углу θ, используя стандартные преобразования.
В итоге получается красивая замена переменных, которая делает систему явно интегрируемой и позволяет легко анализировать движение.
Эта задача хороша для тренировки работы с переменными действие-угол и приятно решается вручную.
Чо-т ленивая у вас нейронка... начала делать... но даже не совсем начала.
И какой смысл в красивой задачке, ежели вы ее в нейронку пихаете, а не сами начлаждаетесь?)
И еще она облажаться успела даже в том, что написала.
Стэп бай стэп.
Ну ну...
ага
да
наверное...
Да
Угу
если разбираешься в математике, попробуй найти не подглядывая в инет последние числа числа грэма, а потом свой результат сравнить с ответом, думаю это не так сложно. но число огромное, хотя конец у этого хвоста есть и он известен, триллионов вселенных не хватит чтоб его просто записать и размер цифр брать с размер планка
Число Грэма меня не возбуждает)