Красивая система уравнений, переменные действие-угол.

если разбираешься в математике, попробуй найти не подглядывая в инет последние числа числа грэма, а потом свой результат сравнить с ответом, думаю это не так сложно. но число огромное, хотя конец у этого хвоста есть и он известен, триллионов вселенных не хватит чтоб его просто записать и размер цифр брать с размер планка

Да

да

Ну ну...

Разберем переход к переменным действие-угол шаг за шагом.

Шаг 1. Определение гамильтониана
Так как уравнения заданы в гамильтоновой форме, найдем функцию Гамильтона H(X, Y).
Из первого уравнения:
dX/dt = Y * cos(X) / sqrt(1 - Y^2)
Следовательно, H должна быть такой, чтобы ее частная производная по Y давала это выражение:
∂H/∂Y = Y * cos(X) / sqrt(1 - Y^2).

Аналогично, из второго уравнения:
dY/dt = -sqrt(1 - Y^2) * sin(X),
значит, ∂H/∂X = -sqrt(1 - Y^2) * sin(X).

Интегрируя по X и Y, находим, что H(X, Y) имеет вид:
H = sqrt(1 - Y^2) * cos(X).

Шаг 2. Определение действия J
В переменных действие-угол J и θ, действие определяется через интеграл:
J = (1/2π) ∮ p dq,
где интеграл берется по замкнутой траектории.

В данном случае роль обобщенной координаты играет X, а обобщенный импульс — это Y.
Найдем J:

Замкнутые траектории в фазовом пространстве задаются уровнями энергии H = E, то есть:
sqrt(1 - Y^2) * cos(X) = E.
Выразим Y через E и X:
Y^2 = 1 - (E / cos(X))^2.
Вычислим интеграл по X за полный цикл движения.
Рассматривая движение в ограниченных пределах, находим J явно. Этот интеграл берется стандартными методами.

Шаг 3. Выражение угла θ
После нахождения J можно перейти к углу θ, используя стандартные преобразования.

В итоге получается красивая замена переменных, которая делает систему явно интегрируемой и позволяет легко анализировать движение.

Эта задача хороша для тренировки работы с переменными действие-угол и приятно решается вручную.

нет

Посмотри́те эту задачку, если будет время.
https://otvet.mail.ru/question/241403794