ГЕОМЕТРИЯ 10 КЛАСС

Задача 2

Рисунок:

```
D
|
| AD = 6√2
|
-----C-------
| | 45°
| |
A-----B-----
| BC = 8
|
|
```

Решение:

Проведем из точки C перпендикуляр CE к ребру AB. По условию, DA и CB перпендикулярны ребру AB, следовательно, DA и CB лежат в плоскостях, перпендикулярных AB. Так как двугранный угол равен 45°, угол между плоскостями DAB и CBA равен 45°. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADE, где AE - проекция AD на AB, и угол DAE = 45°. Тогда AE = AD cos(45°) = 6√2 (√2 / 2) = 6. Аналогично, в прямоугольном треугольнике CBE, BE = BC cos(45°) = 8 (√2 / 2) = 4√2.

Отрезок AB = AE + EB = 6 + 4√2 ≠ 3. Условие задачи некорректно, так как длина AB указана неверно (не соответствует вычисленным проекциям). Задача не может быть решена с данными условиями.


Задача 3

Рисунок:

```
C
|
| AC
|
A-----B
/α
/
/ 60°
/
/
α
```

Решение:

Пусть α - плоскость, проходящая через гипотенузу AB. Угол между плоскостями ABC и α равен 60°. Пусть h - высота, опущенная из C на плоскость α. Тогда ∠CAh = 30°. В прямоугольном треугольнике CAh: Ch = AC sin(30°) = AC / 2.

Пусть φ - угол между BC и плоскостью α. Опустим из C перпендикуляр на AB, обозначим его D. Тогда CD - высота треугольника ABC. В прямоугольном треугольнике ABC, CD = AC BC / AB.

В прямоугольном треугольнике ABC: AB² = AC² + BC²

В прямоугольном треугольнике CDB: sin(φ) = CD / BC. Так как CD = AC BC / AB, sin(φ) = (AC BC / AB) / BC = AC / AB.

В прямоугольном треугольнике ACh: AC = 2Ch. Из условия, что угол между плоскостями ABC и α равен 60°, высота треугольника ABC, опущенная из С на AB, образует с плоскостью α угол 60°. Поэтому CD = AC sin(60°) = (√3/2)AC. Запишем соотношение sin(φ) = (√3/2)AC / BC.

Без дополнительных данных (например, длины катетов AC и BC или длины гипотенузы AB) угло φ вычислить невозможно. Не хватает информации для решения.

Задача 2: Двугранный угол

Рисунок:

Нарисуйте двугранный угол. Обозначьте его ребро как прямую l.
Отметьте на одной грани точку D, а на другой - точку C.
Опустите перпендикуляры DA на ребро l и CB на ребро l. A и B будут точками пересечения перпендикуляров с ребром l.
Соедините точки D и C. Вам нужно найти длину отрезка DC.
Соедините точки D и B.
Анализ:

DA и CB перпендикулярны ребру l, значит, углы DAB и CBA - прямые (90 градусов).
Угол между гранями двугранного угла равен углу между перпендикулярами, проведенными к ребру из точек, лежащих в разных гранях. Поэтому, ∠DBС = 45 градусов.
Четырехугольник DABC является трапецией, так как DA и CB параллельны (оба перпендикулярны одной прямой).
Рассмотрим прямоугольный треугольник DBA. Мы знаем AD = 6√2 и AB = 3. Мы можем найти DB по теореме Пифагора: DB² = AD² + AB².
Рассмотрим треугольник DBC. Мы знаем DB (нашли выше), BC = 8 и ∠DBС = 45 градусов. Мы можем найти DC по теореме косинусов: DC² = DB² + BC² - 2 * DB * BC * cos(45°).
Решение:

Найдем DB: DB² = (6√2)² + 3² = 72 + 9 = 81 DB = √81 = 9 см
Найдем DC: DC² = 9² + 8² - 2 * 9 * 8 * cos(45°) = 81 + 64 - 144 * (√2 / 2) = 145 - 72√2 DC = √(145 - 72√2) ≈ √(145 - 101.8) ≈ √43.2 ≈ 6.57 см
Ответ: DC ≈ 6.57 см

Задача 3: Прямоугольный треугольник и плоскость

Рисунок:

Нарисуйте прямоугольный треугольник ABC (угол C - прямой).
Нарисуйте плоскость α, проходящую через гипотенузу AB.
Опустите перпендикуляр CO из вершины C на плоскость α. O - точка пересечения перпендикуляра с плоскостью.
Угол между плоскостями ABC и α - это угол между перпендикуляром к линии пересечения этих плоскостей (гипотенузе AB) и плоскостью α. Этот угол равен углу ∠COC’, где C’ - проекция точки C на плоскость α, а CC’ перпендикулярна AB. Нам дано, что ∠COC’ = 60°.
Угол между катетом AC и плоскостью α - это угол ∠CAO. Нам дано, что ∠CAO = 30°.
Соедините точки B и O. Нам нужно найти угол ∠CBO - угол между катетом BC и плоскостью α.
Анализ:

CO - перпендикуляр к плоскости α, значит, треугольники CAO и CBO - прямоугольные (с прямыми углами COA и COB соответственно).
Рассмотрим прямоугольный треугольник CAO. Мы знаем ∠CAO = 30°. Обозначим длину CO как h. Тогда, AC = CO / sin(30°) = h / (1/2) = 2h. AO = CO / tg(30°) = h / (1/√3) = h√3.
Из условия следует, что угол между плоскостью треугольника АВС и плоскостью альфа равен углу С’СО=60.Следовательно угол АСО=90-60=30.
Треугольник АСО прямоугольный , sin угла САО равен отношению противолежащего катета к гипотенузе ,то есть Со/АС.Отсюда Со=АСsin30; Со=АС1/2
Решение:

Рассмотрим треугольник АВС, он прямоугольный, АС=Со*2. Значит, угол ВАС=60 градусов.
Угол АВС=30
Треугольник СВО прямоугольный, в нём Sin угла СВО= Со/ВС . Треугольник АВС прямоугольный и Со=1/2 АС=1/2 ВС/Корень из 3.
Sin угла СВО= 1/2 АС/АСКорень из 3= 1/ 2Корень из 3= Корень из 3 /6 .
Угол СВО= arcSin(Корень из 3 /6 )= 16,77 градусов
Ответ: Угол, который образует катет BC с плоскостью α, равен примерно 16,77 градусам. Важно!: Угол между прямой и плоскостью всегда находится между 0 и 90 градусами.