11 класс математика

1. Область определения:
Так как в функции есть квадратный корень, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

x ≥ 0

Таким образом, область определения функции: [0; +∞).

2. Нули функции:
Чтобы найти нули функции, приравняем её к нулю:

x√x - 3x = 0
x(√x - 3) = 0
x = 0 или √x = 3
x = 0 или x = 9

Итак, нули функции: x = 0 и x = 9.

3. Интервалы знакопостоянства:

Рассмотрим функцию y = x√x - 3x на области определения [0; +∞).

На интервале (0; 9): x√x < 3x, значит, y < 0.
На интервале (9; +∞): x√x > 3x, значит, y > 0.

4. Производная и критические точки:

Найдём производную функции:

y' = (x√x - 3x)' = (x^(3/2) - 3x)' = (3/2)x^(1/2) - 3 = (3/2)√x - 3

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

(3/2)√x - 3 = 0
(3/2)√x = 3
√x = 2
x = 4

Таким образом, критическая точка: x = 4.

5. Интервалы возрастания и убывания:

На интервале (0; 4): y' < 0, функция убывает.
На интервале (4; +∞): y' > 0, функция возрастает.

Значит, в точке x = 4 функция имеет минимум.

6. Значение функции в критической точке:

y(4) = 4√4 - 34 = 42 - 12 = 8 - 12 = -4

Итак, минимум функции находится в точке (4; -4).

7. Вторая производная и выпуклость:

Найдём вторую производную:

y'' = ((3/2)√x - 3)' = (3/2)(1/2)x^(-1/2) = (3/4)(1/√x)

Так как y'' > 0 для всех x > 0, то функция выпукла вниз на всей области определения.

8. Построение графика:

Отмечаем на графике нули функции (0; 0) и (9; 0).
Отмечаем точку минимума (4; -4).
Строим график, учитывая, что функция убывает на интервале (0; 4), возрастает на интервале (4; +∞) и выпукла вниз.