Решите задачу по алгебре 8 класс

 ОТВЕТ: Первая машинистка – 8 часов, вторая – 4 часа. 

Для решения задачи обозначим:

• a – время (в часах), за которое первая машинистка (М1) перепечатывает всю рукопись.

• b – время (в часах), за которое вторая машинистка (М2) перепечатывает всю рукопись.

Тогда производительности (скорости) машинисток:

1. М1 перепечатывает 1/a части рукописи за 1 час

2. М2 перепечатывает 1/b части рукописи за 1 час

Из условия задачи получаем:

1) Если М1 начнет работу на 2 часа раньше, чем М2, то каждая выполнит половину работы.
Пусть М2 работала x часов. Тогда М1 работала x + 2 часов. По условию каждая перепечатала ровно половину рукописи, то есть:
(1) (x + 2) · (1/a) = 1/2 → (x + 2)/a = 1/2
(2) x · (1/b) = 1/2 → x/b = 1/2

Из (2) мы находим:
x = b/2
Подставим в (1):
(b/2 + 2) / a = 1/2
b/2 + 2 = a/2
b/2 + 2 = (a/2)
b + 4 = a
Получаем первую связь:
a = b + 4

2) Если М1 и М2 начнут работу одновременно, то через 2 часа им останется перепечатать 1/4 рукописи. Значит, за 2 часа они вдвоем перепечатывают 3/4 рукописи. Их совместная производительность равна (1/a + 1/b), и тогда:
2 · (1/a + 1/b) = 3/4
1/a + 1/b = 3/8
Подставим a = b + 4 в уравнение 1/a + 1/b = 3/8:
1/(b + 4) + 1/b = 3/8
Сложим дроби в левой части:
(b + (b + 4)) / [b(b + 4)] = 3/8
(2b + 4) / [b(b + 4)] = 3/8
Через пропорцию:
8(2b + 4) = 3b(b + 4)
16b + 32 = 3b² + 12b
3b² + 12b - 16b - 32 = 0
3b² - 4b - 32 = 0.

Решим квадратное уравнение 3b² - 4b - 32 = 0:
Дискриминант D = (-4)² - 4·3·(-32) = 16 + 384 = 400
b = [4 ± √400] / (2·3) = [4 ± 20] / 6

Найдем положительный корень:
b = (4 + 20) / 6 = 24 / 6 = 4

Тогда по формуле a = b + 4:
a = 4 + 4 = 8

И получаем, что первая машинистка перепечатывает рукопись за 8 часов, а вторая за 4 часа.