Доплачивают ли инвалидность до прожиточного минимума, если человек не работает и нет других доходов?

Да, если пенсия ниже прожиточного минимума пенсионера и человек не работает. Но это только при третьей группе, потому что по первой и второй пенсия всегда выше прожиточного минимума.
Доплачивает не СФР, а отдел соцзащиты. И не автоматически, а после обращения инвалида.

Да

По какому диагнозу инвалидность?

нет, инвалид 3 группы может работать