Можно ли надеется на карьеру программиста без высшего образования?

нет

Если есть мозги и желание, то можно.

Нет

Надеяться - можно.

Нет. Программист ОЧЕНЬ хорошо разбирается например в математике. Не всякий выпускник ВУЗа так может. Но одна математика программиста не делает. Он же программирует не для себя, а для решения каких то задач. Разных задач, из разных наук и областей знания. И во всех этих науках и областях надо как минимум разбираться. Не обязательно знать досконально (хотя это, конечно, лучше)) но разбираться что к чему. Так что для успеха надо как минимум красный диплом. А лучше не один.
Те, кто по настоящему добиваются успеха, примерно с 15 лет до 35 пашут, не подымая головы. Стараются сократить сон, чтобы побольше освободить времени для учебы и работы. Не шляются по клубам, пати и кабакам. Вообще. Никогда. Только учеба и работа...

Вполне. Будет труднее стать тимлидом, но рядовым разрабам в диплом никто не смотрит.

Высшее образование - для работодателя это, в первую очередь, твоё умение доводить дело до конца, искать информацию и применять знания. Умение следовать принятым в команде правилам, даже если они кажутся тебе дебильными и мешающими работе. Это умение оперировать абстракциями, для которых нет простого и понятного аналога в реальном мире. Это знание языка, на котором общаются люди с высшим образованием. Это интуитивная оценка вычислительной сложности возможных решений одной и той же задачи, которая не возможна без тысяч решенных задачек из матанализа, линейной алгебры. И хорошо бы ещё знать предметную область, в которой ты собираешься строить карьеру программиста - бухгалтерский учёт, банковское дело, связь, логистика, робототехника или что там у тебя в мечтах. Иногда нужно знать несколько предметных областей, так как зачастую работаешь на стыке, а заказчик и/или аналитик не напишут тебе задание в тех терминах, которые ты знаешь, а будут пользоваться терминами предметной области. Если хочешь стать действительно успешным программистом - получай ДВА ВЫСШИХ, программист-математик и какое-нибудь профильное.
Конечно, можно стать отличным программистом и "без диплома". Но тогда придётся учиться самому, без помощи преподавателей, без проверки того, правильно ли ты усвоил информацию (проклятые экзамены!). Никто даже не скажет тебе, в каком порядке нужно книжки читать.
И учиться самому всё равно придётся, хоть с вышкой, хоть без неё - ВУЗ не сделает из тебя профессионала, он сделает из тебя только заготовку, очень среднюю, и ни на что не годную в реальном мире. Но даст тебе базовые знания, которые позволят тебе читать и понимать литературу, выпускаемую для людей с "вышкой", продолжать своё образование.
Кроме того, ВУЗ - это ещё и дипломная работа, и преддипломная практика на реальном предприятии, с реальными задачами. И если ты учился, а не пиво пил в скверике - то и практически гарантированная работа сразу по получении диплома, а то и гораздо раньше.
И ВУЗ - это куча новых друзей, с которыми ты дальше пойдёшь по жизни. И именно эти друзья будут тебе иногда звонить "слушай, у нас тут вакансия открылась на архитектора баз данных, ты же в этом круто сечёшь, иди к нам, зарплата конская, кофе бесплатный, девушки красивые!".