Камера nikon coolpix l820 мгновенно разряжается при съемки видео

Если не проверил другими батарйками, то угадать сложно. Глянь контакты для начала.

видеорежим требует от источника питания максимальных значений тока.
что-то этому мешает.

новые - не значит хорошие. И никто никогда не может исключить возможности брака. Аккумы могут быть старыми (смотрели на них дату выпуска?), если несколько лет пролежали на складе, то это критично, даже если они и в состоянии новых...
Опять же в камере может быть дефект, либо окислились контакты площадки питания.
Ну и еще вопрос, как вы их заряжали, каким зарядным устройством и в каком режиме.

Похоже, что этой мыльнице наступает капец, умирает она.

Новые аккумуляторы нужно зарядить.