Можно ли поехав в Европу студентом по обмену остатся там?

Можно. Только вот, тебя обратно постоянно тащить будут. Но ты не сдавайся

нет

легально? нет

нет, хотя бы для начала магистратуру тебе туда поступить

В США ну хотя бы в теории можно. Есть штаты где вообще комфортно без документов
В Европе - нет

У меня племянник получает сейчас чешское образование. Причем на бюджете. У него в планах получить образование там, трудоустроиться. Если ты хороший специалист тебя возьмут на работу с чешским образованием. С курсами, и изучением чешского языка ему помогала компания https://www.binio.ru/ они и с визой ему помогли. Попробуйте так и будете европейским жителем )))

обмен учащимися из разных стран это для укрепления знаний в соответствующем иностранном языке и обычно на 3 месяца. например французы обмениваются с немцами. кто с тобой из Европы, двже Восточной поедет на обмен, чтобы укрепить знания в русском языке? кроме того, а ты в каком европейском языке силён? 27 языков между прочим. К примеру в Бельгии 4 государственных языка, в Швейцарии 3 официальных, в реальности 4. В Финляндии 2 и т.д.
про остаться тут речи нет.
Остаться это надо поступать на обучение в вуз Европы при подтверждённых знаниях на беглом уровне местного языка и английского (как минимум)