Здравствуйте. Объясните, пожалуйста, зачем нужен тройной интеграл по замкнутому контуру и в чем его геометрический смысл

Простой интеграл - площадь плоской фигуры, двойной - площадь поверхности объёмной, а тройной - объём.

Сперва ydx. Тока тройной.

Зачем нужен молоток? Гвозди забивать. А зачем.. это уж зависит от того, где такая потребность возникла. А смысл его зависит от того, что это за интеграл. Если вы не ошиблись и записали верно, то такой интеграл может иметь, например, смысл потока n>3 -мерного векторного поля через 3 мерную замкнутую гиперповерхность в n-мерном пространстве, или быть чем-то типа "меры" 3-мерной гиперповерхности в n>3 мерном пространстве. При такой постановке на вопрос осмысленно не ответить.

По замкнутому это или у Максвела - ЭДС, или
... аэродинамика.
И плазма.

А тройной, так ведь икс, игрек, зет

Не бывает тройных интегралов по контуру. Там одна переменная интегрирования.