Как решить систему уравнений методом Гаусса

Решение системы уравнений методом Гаусса включает в себя преобразование системы уравнений к верхнетреугольному виду, а затем обратное подставление для нахождения значений переменных. Давайте рассмотрим вашу систему:


1. ax + 3y - 3z = a² - 3a (1)

2. 2x + y - 2z = -b (2)

3. (a+1)x - by + (b-a)z = a (3)


▎Шаг 1: Запись системы в матричной форме

Сначала запишем систему в виде расширенной матрицы:

a | 3 | -3 | | | a² - 3a
2 | 1 | -2 | | | -b
a+1 | -b | b-a | | | a


▎Шаг 2: Приведение к верхнетреугольному виду

Мы будем использовать метод Гаусса, чтобы привести матрицу к верхнетреугольному виду.

1. Первый шаг: Удалим элемент под первым элементом первого столбца (то есть элемент 2 во втором уравнении). Для этого вычтем из второго уравнения 2/a первого уравнения, если a ≠ 0 :

R₂ = R₂ - 2 / a R₁


Вычислим новый второй ряд:

R₂ =
2 | 1 | -2 | | | -b
- 2 / a
a | 3 | -3 | | | a² - 3a


Это даст:

R₂ =
0 | 1 - 6 / a | -2 + a | | | -b - (2(a² - 3a))/(a
`)
Упростим правую часть:


-b - 2a + 6 = -(b + 2a - 6)

Таким образом, получаем:


R₂ =
0 | 1 - 6 / a | -2 + a | | | -(b + 2a - 6)
``

2. Второй шаг: Удалим элемент под первым элементом второго столбца (то есть элемент a + 1 в третьем уравнении). Для этого вычтем из третьего уравнения (a + 1)(R₂) :

R₃ = R₃ - (a + 1) R₂


Вычислим новый третий ряд. После выполнения всех необходимых операций и упрощений, мы получим матрицу, которая будет иметь вид:

a | 3 | -3 | | | a² - 3a
0 | c₁ | c₂ | | | d₁
0 | 0 | c₃ | | | d₂


▎Шаг 3: Обратное подставление

После того как мы получили верхнетреугольную матрицу, мы можем использовать обратное подставление для нахождения значений переменных.

1. Из третьего уравнения выразим z .

2. Подставим значение z во второе уравнение и выразим y .

3. Подставим значения y и z в первое уравнение и найдем x .

▎Примечание

Поскольку значения a и b являются константами, важно учитывать возможные случаи, когда a = 0 или другие значения могут привести к делению на ноль или другим особым ситуациям.